Использование метода введения новой переменной при решении различных заданий ЕГЭ
Познание 21 век - все об образовании и школах

Использование метода введения новой переменной при решении различных заданий ЕГЭ


адреса школ

учебное

новости науки

реклама

«Высшее назначение математики…
состоит в том, чтобы находить
скрытый порядок в хаосе, который
нас окружает».
Норберт Винер [6]

Более семи лет длился эксперимент под названием ЕГЭ. Практически все эти семь лет я со своими учениками успешно участвую в этом эксперименте. Хочется отметить, что система разработки заданий, а также система их распределения по регионам и школам разработана так, что угадать, какие задания достанутся вам, практически невозможно. Поэтому одним из существенных факторов, влияющих на достижение успеха при сдаче ЕГЭ по математике, да и просто на достижение целей обучения математики, является понимание предмета математики. В связи с этим, хочется отметить, что основная задача, стоящая перед учителем математики, заключается в развитии умственных способностей учащихся, их способности овладеть языком математики, развитии их умения владеть математическими методами, а не заполнении ячеек их памяти огромным количеством формул, типичных задач и примеров.

Те дети, которые рассчитывают на память и не доводят полученные знания «до разума» очень часто испытывают затруднения при освоении новой порции материала, начинают плохо успевать в старших классах, там, где объем материала увеличивается, а времени отводится не много. И, конечно же, такой ученик испытывает и трудности при подготовке к ЕГЭ, а порой и «шок» при встрече с незнакомым заданием во время экзамена.

«Великий математик Карл Фридрих Гаусс, в своё время, назвал математику «царицей всех наук». Математика скорее добрая фея, только получить у неё можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент - математические методы» писал Петровский И.Г.[6]. Одним из таких инструментов является метод введения новой переменной, который широко используется в математике. Привожу лишь небольшой список, где возможно использование этого метода в школьном курсе математики:

  1. Вычисления с логарифмами и радикалами.
  2. Преобразование буквенных рациональных выражений, иррациональных и выражений, содержащих степень с действительным показателем; преобразования с логарифмами.
  3. Отыскание наибольших и наименьших значений функций.
  4. Решение уравнений.
  5. Решение неравенств.
  6. Отыскание формулы, задающей функцию.

Для того чтобы помочь детям избежать проблем, связанных с ЕГЭ, важно начиная уже со среднего звена работать на «перспективу», снабжая их той самой «волшебной палочкой», которая поможет им в дальнейшем.

Стоит лишь увидеть тестовые задания, чтобы понять, о чём идёт речь. Рассмотрим некоторые из них.

1.[1] Найдите значение выражения , если a = 9, b = 16.

Решение:

Найдём наименьший показатель степени каждой переменной; обозначим a1 / 2 = x, b1 / 2 = y, a = x2, b = y2, a3 / 2 = x3, b3 / 2 = y3 тогда выражении примет вид
= x + 3y - 2y = x + y, значит, 91 / 2 + 161 / 2 = 3 + 4 = 7.

Пример простой, но именно на таких примерах и можно учиться вводить переменные, начиная уже с 8-го, 9-го класса. Что же даёт новая переменная:

  1. Очевиднее использование формул сокращенного умножения.
  2. Зависимость между показателями определяет отношение показателя степени каждой переменной к наименьшему показателю, что облегчает в дальнейшем использование данного метода при решении уравнений и неравенств.
  3. Возможность справиться с заданием.

Рассмотрим другой пример.

2.[1] Найдите значение выражения , если x = 1,25.

Решение:

Обозначим , тогда выражение примет вид

В данном случае преимущество использования метода заключается в предотвращении вычислительных ошибок и тоже готовит к решению иррациональных уравнений, при решении которых возможно использование данного метода.

Решение следующих тестовых заданий вообще проблематично, если не прививать привычку использования данного метода при работе с «корнями», не вести такую работу систематически.

3.[2] Найдите значение выражения при x = 6,06.

Решение:

, тогда выражение примет вид

Далее раскрываем модуль и находим значение, вернувшись к прежней переменной.
При x = 6,06

4.[3] Найдите значение выражения

Решение:

Используем замену: , получим
1)
2)
Возвращаясь к прежней переменной, получаем , тогда = = 1,5 при a = 2,25.

Хочется отметить, что последнее задание интересно еще и тем, что здесь можно ввести не одну замену, а две, обозначив, сопряжённые выражения с корнем четвёртой степени, разными буквами.

Решение:

Введем замену

Пожалуй, тема использования новой переменной при решении иррациональных уравнений (неравенств) самая интересная и востребованная. Хочется продолжить её и рассмотреть два других задания.

5.[4] Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид
, заменяем системой
Решив квадратное уравнение, получим, значит, решение u = 3.
Возвращаясь к замене, получим = 3 тогда x = 4.

6.[2] Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения

а, значит, приводится к виду
тогда, учитывая, что корень определён при всех допустимых значениях t,
можно перейти к совокупности .
Решим уравнение (*), которое равносильно системе .
Данная система решений не имеет, значит, = 1, тогда x = 2.

Наверное, со мной согласятся многие, что если в задание 5 можно решить иначе, то в задании 6 применить данный метод решения придёт в голову, лишь тем, кто владеет им в совершенстве, кто умеет его использовать и использовал в заданиях типа 5.
С этой точки зрения интерес представляет и следующий пример.

7.[3] Найдите значение функции g(4), если известно, что f(2x - 1) = x - 3 и f(g(x)) = 2x - 5.

Решение:

1 способ (традиционный)

Очевидно, что f(x) = kx + b, тогда f(2x - 1) = k(2x - 1) + b, значит, после раскрытия скобок можно записать
, тогда .
Значит, функция имеет вид f(x) = 0,5x - 2,5 тогда f(g(x)) = 0,5g(x) - 2,5. Сравнивая с условием, получим 0,5g(x) - 2,5 = 2x - 5, значит g(x) = 4x - 5, тогда g(4) = 11.

2 способ (по теме)

Обозначим 2x - 1 = t, тогда x = 0,5t + 0,5, f(t) = 0,5t - 2,5, а, значит, f(g(x)) = 0,5g(x) - 2,5. Сравнивая с условием, получим 0,5g(x) - 2,5 = 2x - 5, значит g(x) = 4x - 5, тогда g(4) = 11.

Конечно, применение данного метода одними заданиями с радикалами не исчерпывается. Поэтому хочется обратить внимание и на другие его области применения, особенно в заданиях ЕГЭ. Рассмотрим еще ряд примеров.

8.[1] Найдите значение выражения

Решение:

= log62 33 + 9log6(4•3)log6(33•4) = 9log62 3 + 9(log6 3 + log6 4)(3log6 3 + log6 4)
Введём замену log6 3 = a, log6 4 = b. Выражение примет вид 9a2 + 9(a + b)(3a + b) = 9a2 + 27a2 + 9ab + 3ab + 9b2 = 36a2 + 12ab + 9b2 = 9(2a + b)2.
Возвращаясь к замене, получим 9(2log6 3 +log6 4)2 = 9(log636)2 = 36.

Очевидно, что данный пример является простым для «сильных» учащихся. Для менее «сильных» учащихся такой пример будет хорошим тренировочным для подготовки к более сложным примерам, возможно, как следующее задание.

9.[2] Найдите значение выражения (log2 3 + log3 16 + 4)(log2 3 - 2log12 3)log3 2 - log2 3.

Решение:

Пусть log2 3 = a, тогда log12 3 = , log3 2 = 1 / a, log3 16 = 4 / a и выражение примет вид

Невозможно, говоря о методе введения новой переменной, обойти вниманием такой раздел школьного курса, как «Тригонометрия». Однако, особо выделить хочется такую область применения метода, как отыскание значений функций, аргументом которых является sin x или cos x.

10.[1] Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений функции f(x)=2cos3 x - 5sin2 x - 4cos x + 3 на числовой оси.

Решение:

Выполним некоторые преобразования и функция примет вид f(x)=2cos3 x + 5cos2 x - 4cos x - 2. Введём замену cos x = t, t ∈ [-1; 1], тогда функция примет вид f(x)=2t3 + 5t2 - 4t - 2. Теперь задача сводится к отысканию значений  функции y = f(t) на множестве [-1; 1]. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. Функция непрерывна на данном множестве и имеет производную f'(t) = 6t2 + 10t - 4. Стационарные точки: t = 1 / 3 и t = -2, из которых -2 ∉ [-1; 1].
Находим значения функции: f(-1) = 5, f(1) = 1, f(1 / 3) = .
Таким образом, функция на указанном отрезке принимает значения из промежутка [; 5],
тогда сумма наибольшего и наименьшего целых значений функции равна -2 + 5 = 3.

С заданием подобного типа перекликается уже более высокого уровня - задание с параметром.

11.[5] Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6sin3 x = p - 5cos 2x не имеет корней.

Решение:

1) Ответим на вопрос, при каких значениях р уравнение имеет решения и в ответе запишем дополнительное множество.
2) Уединим параметр, приведя уравнение к виду: p = 6sin3 x + 5cos 2x.
3) Воспользуемся формулами и получим в качестве аргумента сложной функции одну тригонометрическую функцию в правой части уравнения: p = 6sin3 x + 5 - 10sin2 x.
4) Введём замену sin x = z. Зная, что z ∈ [-1; 1], найдём значение p(z) = 6z3+ 5 - 10z2 на отрезке [-1; 1].
5) p'(z) = 18z2 - 20z. Стационарные точки: .
6) Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарных точках: p(-1) = - 11, p(0) = 5, p(1) = 1, значит функция p(z) принимает значения из отрезка [-11; 5]. Тогда исходное уравнение не имеет решений при p ∈ (-∞; -11) ∪ (5; +∞).

Я думаю, перечень заданий и те преимущества, что даёт применение данного метода, а именно: возможность «увидеть» то, что неочевидно и выбрать верное направление решения, сократить время при решении трудных заданий, более красивое решение традиционных заданий, говорят в его пользу. Но для того, чтобы данный метод стал используемым нужно вести кропотливую, систематическую работу над ним, прививать вкус к поиску различных решений одной и той же задачи, организуя поиск решения не только с точки зрения её типичности, но и с точки зрения использования различных методов.

Хочется еще отметить, что при дефиците учебного времени можно построить уроки обобщающего повторения не традиционно по темам курса, а по использованию тех или иных математических методов.

Список используемой литературы

  1. Клово А.Г.. Единственные реальные варианты заданий для подготовки к Единому Государственному Экзамену. ЕГЭ-2006. Математика. М., ФГУ «Федеральный Центр Тестирования», 2006.
  2. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2007. Учебно-тренировочные тесты. Ростов-на-Дону: Легион, 2007.
  3. Клово А.Г.. Новые контрольно-измерительные материалы по спецификации 2007 года. ЕГЭ-2007. Математика. М.: ООО «Рустест», 2007.
  4. Клово А.Г.. Экзаменационные материалы для подготовки к Единому Государственному Экзамену. ЕГЭ-2006. Математика. М: ФГУ «Федеральный Центр Тестирования», 2005.
  5. Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / Рособрнадзор, ИСОП – М.:Интеллект-Центр,2006.
  6. Лиман М.М.. Школьникам о математике и математиках: Пособие для учащихся4-8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1981.
Оставьте свой отзыв с помощью аккаунта ВК:
Оставьте свой отзыв с помощью аккаунта FB:

 
Автономная некоммерческая организация
средняя общеобразовательная школа "Познание - XXI век" в Новокосино.
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7. Тел. (916) 148-4547 .
E-mail: poznanie21@yandex.ru