Программа элективного курса "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Программа элективного курса "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Курс «Решение тригонометрических уравнений, требующих отбора корней» является элективным. Он создан для реализации в профильных классах.
Роль данного раздела математики во вступительных экзаменах исключительно велика. Одновременно с  этим тригонометрический материал традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад и при отборе математически одаренных учащихся, поскольку он чрезвычайно удобен для усложнения заданий. Соответственно возрастает потребность определенной части учащихся и их родителей в хорошей организации обучения этому разделу в школьный период обучения.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа нередко связана с понятием объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получаются серии корней, и в окончательном варианте ответ записывается в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся решения или этого можно не делать?
С понятием пересечения множеств связан и еще один важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой  и правой частях уравнения не определены. Такие значения надо исключить. Для этого надо уметь находить пересечение различных серий.
Данный курс, разработан в связи с тем, что в примерных программах основного общего образования объем рекомендуемого к изучению в массовой школе тригонометрического материала заметно сократился. При этом развивающий смысл раздела был практически отброшен.  Увеличение объема содержания и установка на формально – логическое его изучение снизили уровень интереса и мотивации в изучении данной темы, что вызвало в полнее прогнозируемые последствия – дети стали хуже усваивать данный учебный материал. В нынешнее время тригонометрический материал распределен между курсами алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа. Тем самым анализ учителем возможных подходов к планированию и организация изучения тригонометрии в школе, распределению материала, особенностей избранных программ обучения, предпочтений самого учителя, желаний и способностей учащихся становится чрезвычайно актуальным. Поэтому главным основанием для создания данного элективного курса для учащихся – подготовка в массовой школе одаренных в академическом смысле детей к поступлению и обучению в ВУЗе.
Так как материал по данной теме входит в школьную программу, число часов, отводимых программой для изучения этой темы не позволяет изучить ее достаточно глубоко, поэтому полезно организовать изучение тригонометрии «параллельно» с основным курсом алгебры и начал анализа в 11-м классе. В качестве обязательных результатов обучения по теме: «Решение тригонометрических уравнений, требующих отбора корней» можно назвать:

  1. Умения и навыки находить все решения;
  2. В связи с преобразованием уравнения не должен быть упущен вопрос о возможности приобретения или потери корней.

Содержание курса, основанного на адаптированной методике решения тригонометрических уравнений направлено в помощь учащемуся в выборе профиля, в его подготовке к математической олимпиаде или конкурсу.
Курс поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний и методов решения тригонометрических уравнений, способствует качественному и осознанному усвоению базового курса математики. А также данный курс служит для внутри профильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения курса тригонометрии в школьной программе.
    Цель курса:

  1. Обучающая: Сформировать умения распознавать и применять необходимый способ отбора корней при решении тригонометрического уравнения,  через обобщение и анализ результатов индивидуальных и коллективных исследований, а также через самостоятельную и практическую деятельность.
  2. Развивающая: Развитие индивидуальных качеств мышления: активности, самостоятельности, глубины, широты, быстроты, систематичности, убедительности
  3. Воспитательная: Воспитание потребностей в приобретении и углублении знаний; вырабатывать у учащихся умения: овладевать навыками и умениями применять знания на практике;   умение вести диалог.   

    Задачи  курса:

  • Расширить представления учащихся о типах тригонометрических уравнений и  способах решения тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней за счет развития представлений о классификации  тригонометрических уравнений;
  • Убедить в необходимости овладения способами выполнения математических действий;
  • Развитие способностей к самопроверке;
  • Через обучение использованию неравносильных переходов и нестандартных приемов сформировать у учащихся умения решать тригонометрические уравнения, требующих для своего решения отбора корней,    классифицированные по способу постановки задачи;
  • Способствовать созданию положительной мотивации обучения тригонометрии;
  • Способствовать развитию личностной ориентации учащихся в образовательном процессе и ответственности за индивидуальный выбор;
  • Формирование познавательных, коммуникативных и информационных компетенций.

Основные формы организации учебного процесса.
Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется на занятиях и дома, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Первое занятие рекомендуем проводить в форме семинара, посвященного рассмотрению вопросов данной темы, корректировке знаний. Остальные занятия подразумевают самостоятельное изучение учащимися определенного теоретического содержания учебного пособия (дома); наглядно – иллюстративный метод изучения, совместно с частично – поисковым, а также самостоятельную и практическую работу, как индивидуально, так и  группах. Вместе с этим анализ самостоятельно изученного материала, выявления точек зрения (диалог). Ученики самостоятельно, в микро группах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы. При таком подходе создаются некоторые условия для осуществления диалога – элемента личностно – ориентированного обучения.  При этом используются различные формы самостоятельной работы  с целью более эффективного усвоения материала, такие как:

  • Подбор примеров;
  • Ответы на вопросы для самопроверки;
  • Тестирование.

Критерии оценки успешного прохождения курса.
Учащиеся, в результате курса, должны:

  • Знать определение тригонометрического уравнения, их виды и способы решения;
  • Иметь представление о методах решения тригонометрических уравнений;
  • Знать случаи, при которых, происходит отбор корней: 1) случай, когда при решении происходит расширение области определения уравнения; 2) случай, когда требуется найти значение неизвестного, удовлетворяющее заданным условиям.
  • Знать способы, позволяющие сделать отбор корней при решении тригонометрических уравнений;
  • Уметь распознавать вид тригонометрического уравнения, требующих для своего решения отбора корней;
  • Уметь правильно изображать на единичной окружности точки, соответствующие значениям тригонометрических функций, и в случае «табличных» значений уметь определять значения аргументов этих функций;
  • Уметь  применять тригонометрические формулы для упрощения выражений;
  • Владеть аппаратом способов решения тригонометрических  уравнений, требующих для своего решения отбора корней.

Организация и проведение аттестации учеников.
Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений и навыков по данной теме, а также развитие познавательного интереса. При этом должна использоваться преимущественно качественная оценка выполнения заданий, хотя возможно и итоговое тестирование.
Объём заданий варьируется в зависимости от уровня подготовленности школьников. Кроме того, ряд заданий дифференцируется по трём уровням сложности, причем уровень сложности определяется самостоятельно, что поможет учащимся оценить свой потенциал с образовательной точки зрения  и несет ответственность за свой выбор.
Самостоятельная работа учащихся  предполагает их выход на один из трех уровней      освоения теоретического материала и практических  навыков.
Тематическое планирование.
На изучение курса целесообразно отвести 18 аудиторских часов (академических часов), распределив аудиторную нагрузку по темам следующим образом:


п/п

Тема

Учебное время

Деятельность учащихся Деятельность учителя
Лекция практика
1. Контрольная диагностика (КД)   1 Выполняют задания работы, осуществляют самооценку результатов Организует работу учащихся
2. Объединение семейств значений.  

1 Работают с информацией, проводят анализ своего уровня знаний, выполняют необходимые задания, осуществляют корректировку своей деятельности Формирует знания о тригонометрических функциях, выделяя ключевые моменты
Организует обсуждение и координирует процесс решения задан,
3. Преобразования уравнений, приводящие к потере корней или к появлению постороннего корня. Когда необходима проверка. 2 1 Самостоятельно изучают теоретический материал.
Выполняют
задания работы, осуществляют самооценку результатов
Организует и координирует процесс решения разноуровневых задан

Консультирует

Формирует знания о способах решения данных уравнений, отрабатывает компоненты при решении уравнений, активизирует и направляет поиск и выработку идей

4. Возникновение ситуации отбора корней. Возможные подходы к отбору корней тригонометрического уравнения 2 2 Работают с информацией, проводят анализ условий уравнений

Самостоятельно изучают теоретический материал.
Работают с информацией, проводят анализ условий уравнений, выполняют необходимые задания, осуществляют самоконтроль и корректировку своей деятельности, участвуют в коллективном обсуждении

5. Решение однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени   1
6. Иррациональные тригонометрические уравнения, уравнения с дополнительными условиями 1 2    
7. Решение тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней используя метод разложения на множители и метод введения новой вспомогательной переменной. 1 2 Работают с информацией, проводят анализ условий уравнений
Самостоятельно решают уравнения различными способами, оформляют решение, обобщают и уточняют критерии выбора способа, осуществляют контроль над процессом реализации каждого метода в отдельности
Организует и координирует процесс решения разноуровневых задан разными способами,
Консультирует, советует
8. Решение  различными  способами тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней   1
9. Контрольная работа   1 Отвечают на вопросы учителя, осуществляют самоанализ и самооценку результатов деятельности, участвуют в коллективном обсуждении и оценке результатов работы. Организует проведение, участвует в анализе и оценке результатов работы, аргументировано оценивает работу учащихся.
  Итого 6 12    

Занятие 1.
Контрольная диагностика.
Цели: Выявить степень овладения общеучебными и специфическими операциями и действиями, определить типичные и индивидуальные ошибки, выявить причины затруднений по результатам выполнения заданий комбинированного характера, направленные на выявление степени понимания изученного ранее материала.
Занятие 2.
Тема: Объединение семейств значений.
Цели: 1. Рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений, требующие для своего решения объединения семейств.

2. Сформировать навыки  объединения серии ответов.

Задача:Уметь изображать найденные корни уравнения точками единичной окружности, причем для каждой серии корней использовать свое обозначение. Добиваться более компактной записи ответа, объединяя семейства решений.
Занятия 3-5.
Тема: Преобразования уравнений, приводящие к потере корней или к появлению постороннего корня. Когда необходима проверка.
Цели:1. Сформировать представление о  преобразовании  уравнения, приводящее  данное уравнение к уравнению, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.
2. Сформировать навыки применения преобразования для рационального решения уравнения и учитывать последствия таких преобразований.
3. При решении тригонометрических уравнений рассмотреть, когда необходима проверка найденных решений.
Задачи: знать что происходит с уравнением при возведении в степень, при применении некоторых формул в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных). Рассмотреть решения уравнений, где применяется тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения (знать, к чему приведет использование этих тождеств «справа налево» и «слева направо»). Используя полученные знания создать для себя опорную схему. Найти в дополнительной литературе уравнения, подходящие к теме занятия и попытаться осуществить поиск решения уравнения. 
Занятия 6 - 9.
Тема: «Возникновение ситуации отбора корней. Возможные подходы к отбору корней тригонометрического уравнения»
Цели: 1.  Познакомить школьников с приемами отбора корней из множеств значений неизвестного.
2.Выяснить, чем может быть вызван отбор корней и какие приемы рациональнее использовать в данном случае.

3. Выявить достоинства и недостатки  каждого из способов отбора корней тригонометрического уравнения.

В итоге учащиеся должны уметь выбрать  рациональный прием для отбора корней при решении тригонометрического уравнения.
Занятие 10.
Тема:  Решение однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени.
Цели: 1. Развитие навыка отбора корней при решении однородных тригонометрических уравнений 1 и 2 степени, заданных в неявном виде.
2. Ознакомиться самостоятельно со  способом решения однородного тригонометрического уравнения 1 и 2  степени.
Задачи: Самостоятельное ознакомиться с «универсальной подстановкой», рассмотреть способы решения тригонометрических уравнений данного типа при решении специально подобранных уравнений.
Найти в дополнительной литературе уравнения, подходящие к теме занятия и попытаться осуществить поиск отбора корней при решении уравнения.  В итоге учащиеся должны уметь распознавать  тип уравнения и  применять  рациональный способ  отбора корней при его решении.
Занятия 11-13.
Тема: Иррациональные тригонометрические уравнения, уравнения с дополнительными условиями
Цели: 1. Доказать справедливость утверждения:
уравнение (f(x))n = (g(x))n , при n  -четном натуральном  числе является следствием уравнения f(x) = g(x)  на конкретных примерах.
2. Реализовывать данное утверждение при  решении  иррациональных тригонометрических уравнений.
3. Рассмотреть приемы решения уравнений с дополнительными условиями.
Задачи:  На первых двух занятиях уделить внимание иррациональным уравнениям. Самостоятельное изучение учащимися определенного теоретического содержания (дома) и  рассмотрение уже решенных тригонометрических уравнений поможет сформулировать вывод: возведение уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. Отработать способы проверки.
В итоге учащиеся должны знать приемы решения иррациональных уравнений, уравнений с дополнительными условиями. Уметь выбирать рациональный способ отбора корней  при решении уравнений. Уметь делать отбор корней не одним способом.
Занятие 14 - 16.
Тема: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя метод разложения на множители и метод введения новой вспомогательной переменной.
Цель:  1. Сформировать навыки выбора рационального способа отбора корней  при решении тригонометрических уравнений  основными методами:
а) разложение на множители;
б) введение новых переменных.
2.Сформировать навыки выбора рационального решения.
Задачи: Продолжить формирование навыков объединения семейств до «автоматизма», преодолеть трудности, связанные с делением окружности ? на очень мелкие доли.
Занятие 17.
Тема: «Решение  различными  способами тригонометрических уравнений, требующих для своего решения отбора корней»
Цели: 1.  Сформировать умения распознавать способы решения тригонометрических уравнений и реализовывать их к решению различных  типов тригонометрических уравнений, в частности  смешанного.
2. Сформировать умения выбирать рациональный способ отбора корней при решении уравнений,  умения рациональной записи ответа.
Задачи: Подобрать разноуровневые уравнения, позволяющие привлечь к их решению всех слушателей курса. Организовать работу в группах и индивидуально для самостоятельного определения способа решения уравнения,  последующего поиска одного или нескольких решений  и подробного оформления.
В итоге учащиеся должны уметь применять полученные знания и отработанные умения, решать уравнения, выбирая рациональный способ и осуществлять проверку решения. Ориентироваться в выборе конкретного способа  решения  большого числа различных тригонометрических уравнений.
Занятие 18.
Тема: Контрольная работа.
Цель: Выяснить уровень усвоения учащимися знаний и умений решать уравнения некоторыми способами.
Контрольная работа включает в себя тригонометрические уравнения на выбор учащимися.  При решении уравнений необходимо:

  • Выделить рациональный способ отбора корней при решении уравнений и обосновать свой выбор.
  • Показать решение уравнений в развернутом виде (все этапы решения).
Читать еще:


Новые материалы:

Переплетно-картонажное изделие (книга) :: Групповой час – час общения "Наркоситуация в среде подрастающего поколения" :: Методическая разработка музыкально-театрализованного представления "Мы на свет родились, чтобы радостно жить" (итоговое занятие по программе "Маленькие дети с большими правами") :: Классный час "Будьте здоровы" :: Тема урока: Диалог о Ж.Верне. Мир приключений в романе "Дети капитана Гранта" :: Лицо со шрамом ( Scarface ), 2018 :: Дом и дача/Мебель/Детская мебель/Колыбели и люльки/Детская мебель/Кровати/Кроватки для новорожденных / Bambolina / Кровать Bambolina ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Состояние воздуха: Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Водоемы Краснодарского края. Их использование и их охрана

Урок дает возможность сформировать представления учащихся о водоемах нашего края.

Урок по фольклору (предмет по выбору). Тема: "Хлеб на стол и стол - престол

Урок дает возможность сформировать представления учащихся о водоемах нашего края.

Урок истории в 5-м классе по теме "Жизнь египетского вельможи"

Данная статья включает организацию самостоятельной работы учащихся на разных этапах урока с использованием различных методов и приемов.

Задания для проведения школьной олимпиады по химии для учащихся 8–10-х классов

В работе представлены задачи для проведения школьного тура олимпиады по химии для обучающихся 8–10-х классов. Олимпиада может включать заочный и очный туры. Задания должны быть разнообразными по содержанию и типу. Уровень сложности заданий должен быть доступен для большинства школьников, но по своей форме задания должны отличаться от контрольной работы по химии необычностью постановки вопроса, а в ответах на них должны допускаться приемы решений, которые не являются стандартными.

Девятая жизнь Луи Дракса (The 9th Life of Louis Drax, Великобритания, 2016) - спойлеры, пересказ, трактовка

Этот фильм заслуживает растаскивания на цитаты. "С возрастом я сам научился понимать, чего от меня хотят", "Мужчины всегда думают, что раз она красивая - значит, она хорошая" - и много другого. Вообще очень достоверный фильм в отношении психологических деталей. Рекомендую к просмотру.


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . poznanie21@yandex.ru
 
ADD