Занятие по программе элективного курса "Решение логарифмических, показательных уравнений, неравенств с параметрами"

Занятие по программе элективного курса "Решение логарифмических, показательных уравнений, неравенств с параметрами"

1. Введение

Если ставится задача для каждого значения a из некоторого множества A решить уравнение F(x,a) = 0 относительно x, то уравнение F(x,a) = 0 называется уравнением с параметром a, а множество A - областью изменения параметра.
Решить уравнение F(x,a) = 0 с переменной xи параметром a - это значит на подмножестве A множества действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x,a) = 0 при всех значениях параметра a.
Ясно, сто написать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.
Покажем на примерах, как эти значения параметра обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом подмножестве решается заданное уравнение (система уравнений, неравенство).

2. Показательные и логарифмические уравнения

Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений с параметром на конкретных примерах.

Пример 1

Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.

Решение:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a - 6)2 – 4 • 9 = a2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +?). Если a = 12, то .

При D > 0 квадратное уравнение может иметь два решения, а исходное уравнение – только одно из двух, если другое решение квадратного уравнения не удовлетворяет условию x > -3. Это возможно, если корни квадратного уравнения расположены по разные стороны от точки x = -3. Поэтому, если значение квадратного трехчлена в точке x > -3 отрицательно, т.е. (-3)2 + 2(a - 6) + 9 < 0, то больший корень квадратного уравнения будет справа от точки x = -3, а меньший – слева. Таким образом, при a < 0 данное уравнение будет иметь одно решение.

Ответ: уравнение имеет одно решение при a = 12, a < 0.

Пример 2

При каких значениях параметра уравнение a • 2x + 2x - 1 - 5 = 0 имеет единственное решение?

Решение:

Введем обозначение 2x = t. Уравнение принимает вид: a • t + 1 / t - 5 = 0, или a • t2 - 5t + 1 = 0. Если a = 0, то t = 1 / 5, 2x = 1 / 5, x = -log2 5. Если a > 0, D = 0, т.е. 25 - 4a = 0, a = 25 / 4, то t = 2 / 5, 2x = 2 / 5, x = log2 2 / 5 - единственное решение. Если a > 0, D < 0, то исходное уравнение не имеет решения, т.к. не имеет решения квадратное уравнение. Если a < 0, то D = 25 - 4a всегда положительный, следовательно квадратное уравнение всегда имеет два корня, причем один из корней положительный, а другой – отрицательный, т.к. t1t2 = 1 / a < 0 при a < 0, поэтому исходное показательное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при a ≤ 0, a = 25 / 4.

Пример 3

Найти все значения параметра, при которых уравнение x + log1 / 3(9x - 2a) = 0 имеет два различных решения.

Решение:

Используя определение логарифма и свойства степеней, запишем уравнение в виде: 32x - 2a = 3x. Введем новое переменное t = 3x, тогда уравнение имеет вид t2 - t - 2a = 0. Его дискриминант D = 1 + 8a. Квадратное уравнение имеет два решения, если оба корня квадратного уравнения положительные и удовлетворяют условию 9x - 2a > 0, т.е. t2 - 2a > 0. Из квадратного уравнения t2 - 2a = t, поэтому условие выполняется при всех положительных t.
По теореме Виета для квадратного уравнения откуда оба корня положительные при a < 0.
Объединяя условия существования двух различных корней квадратного уравнения и их положительности, получаем: a ∈ (-1 / 8; 0).

Ответ: Уравнение имеет два различных решения при a ∈ (-1 / 8; 0).

Пример 3

Решить уравнение .

Решение:

Логарифмическая функция определена только при a > 0, a ≠ 1, поэтому при a ≤ 0, a = 1 уравнение не определено и, следовательно, не имеет решения. Решим уравнение при a > 0, a ≠ 1. О.Д.З. x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a. . На основании свойств логарифмов получаем уравнение loga2 x = 2 + loga x. Введем вспомогательную переменную t = loga x. Квадратное уравнение t2 - t - 2 = 0 имеет корни t1 = 2, t2 = -1. Поэтому loga x = 2, loga x = -1, откуда x1 = a2, x2 = 1 / a. Оба корня принадлежат области допустимых значений при a > 0, a ≠ 1.

Ответ: при a ≤ 0, a = 1 x ∈ ∅, при a > 0, a ≠ 1 x1 = a2, x2 = 1 / a.

Решите следующие примеры самостоятельно.

1. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log2(4x - a) = x имеет два различных решения.

2. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log3(9x + 9a3) = x имеет два различных решения.

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение 4x - 4mn•2x + 2m + 2 = 0.

6. Решите уравнение 4x - 2a(a + 1)2x - 1 + a3 = 0.

7. Решите уравнение lg2 x - lg x + a = 0.

8. При каких значениях параметра уравнение 144-∣2x - 1∣ - 2•12-∣2x - 1∣ + a = 0 имеет хотя ьы одно решение?

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

Ответы:

1. a ∈ (-1 / 4; 0).

2. .

3. При a ∈ (0; 1] x = log2 a.

4. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) x = 3 / 4.

5. При , при m = 1 x = 1, при , при m ∈ [-1; 1] x ∈ ∅.

6. При a ∈ (0; +∞) x1 = 2log2 a, x2 = log2 a, при a = 0 x ∈ ∅, при a ∈ (-∞; 0) x = log2 a2.

7. При a ∈ (-∞; 1 / 4] .

8. a ∈ (0; 1].

9. При .

10. x = 10.

3. Показательные и логарифмические неравенства

Пример 1

Решите неравенство .

Решение:

При a ≤ 0 и a = 0 показательная функция не определена, следовательно, неравенство не имеет решения.
Рассмотрим решение неравенства при a > 0, a ≠ 1 .
Введем вспомогательную переменную ax = z.
Тогда неравенство принимает вид или .
Решив алгебраическое неравенство методом интервалов, получим z ∈ (-∞; 1 / 2) ∪ (1; 2),
или .
Монотонность показательной функции зависит от величины основания, следовательно,
при a ∈ (0; 1) совокупность неравенств принимает вид ,
а при a ∈ (1; +∞) .

Неравенство решено.

Ответ: при a ∈ (-∞; 0], a = 1 x ∈ ∅, при a ∈ (0; 1) loga 2 < x < 0, x > -loga 2, при a ∈ (1; +∞) 0 < x < loga 2, x < -loga 2.

Пример 2

При каких значениях параметра неравенство выполняется при всех значениях x?

Решение:

При и логарифмическая функция не определена,
и, следовательно, неравенство не имеет решения при a ∈ [-2; -1]. Рассмотрим решение неравенства при a ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; +∞). Т.к. x2 + 3 > 0 при всех x,
то может быть только при .
Поэтому исходное неравенство эквивалентно системе: или .
Чтобы последнее неравенство из системы выполнялось при всех значениях x, необходимо условие отрицательности его правой части,
поэтому или , следовательно a < -2,5.

Ответ: a ∈ (-∞; -2,5).

Решите следующие упражнения самостоятельно.

1. Решите неравенство loga x + 2 > 3logx a.

2. При каких значениях параметра неравенство верно при любом действительном значении x?

3. Решите неравенство a4•4x - 33a•2x + 8 > 0.

4. Решите неравенство a2•42x + 1 - 65a•4x - 1 + 1 > 0.

5. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство a•9x + 4(a - 1)•3x + a > 1 выполняется при всех x.

6. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 + log2(2x2 + 2x + 7 / 2) ≥ log7(cx2 + c) имеет хотя бы одно решение.

7. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 - log1 / 7(x2 + 1) ≥ log7(ax2 + 4x + a) справедливо при всех x.

8. Решите неравенство a2 - 2•4x + 1 - a•2x + 1 > 0.

Ответы:

1. При a ∈ (-∞; 0], a = 1 x ∈ ∅, при a ∈ (0; 1) x ∈ (0; a) ∪ (1; 1 / a3), при a ∈ (1; +∞) x ∈ (1 / a3; +∞).

2. a ∈ (-∞; -2).

3. При a ∈ (-∞; 0] xR, при a ∈ (0; +∞) x < -2 - log2 a, x > 3 - log2 a.

4. При a ∈ (-∞; 0] xR, при a ∈ (0; +∞) x > log4 (4 / a), x < log4 (1 / 16a).

5. a ∈ (1; +∞).

6. c ∈ (0; 8].

7. a ∈ (2; 5].

8. При a ∈ (-∞; 0) x < 2 + log2(-a), при a = 0 x ∈ ∅, при a ∈ (0; +∞) x < log2 a + 1.

Читать еще:


Новые материалы:

Литературное чтение. Урок по теме "М.Пришвин. «Ребята и утята»" во 2-м классе :: Урок русского языка "Как мы строим предложения?" по программе "Гармония" (2-й класс) :: Урок-судебный процесс с использованием ИКТ. Закрепление знаний по теме "Безударные падежные окончания имен существительных 1-, 2 -го склонений (4-й класс) :: Урок по математике в 4-м классе "Сравнение долей" :: Урок-игра по истории на тему: "Хочу стать миллионером". 4-й класс :: Париж подождет ( Paris Can Wait ), 2017 :: Дом и дача/Мебель/Готовые комплекты/Ванные комнаты/Мебель для ванных / Ангстрем / Мебель для ванной комнаты Санрайс 1 Ангстрем ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

Самое популярное:
Состояние воздуха: Карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Почему газовая плита - это вредно

Кухня с газовой горелкой обычно является главным источником загрязнения воздуха, причем, не только на кухне, но и во всей квартире.

Букеты на 1 сентября из чая, кофе и конфет!

На 1 сентября все дети идут в школу с цветами. И на общем фоне будет выгодно выделяться школьник с оригинальным подарком - букетом, составленным из чая, кофе и конфет!

Итоговый тест по курсу 10-го класса

Данные тесты составлены для итоговой проверки знаний учащихся 10-х классов, обучающихся по учебнику "Алгебра и начала анализа - 10" авторов С.М.Никольского, М.К.Потапова и др. с целью приобщения их к единому государственному экзамену. В работу включены 26 заданий для каждого варианта. Всего 4 варианта. Все задания распределены по трем уровням сложности А, В и С подобно заданиям ЕГЭ. Учтены все темы, изучающиеся в данном курсе алгебры и начал анализа, а также задания по алгебре 7–9 кл. и геометрии. В работе приведены ответы к заданиям.

Познавательно-исследовательский, творческий проект с детьми второй младшей группы «Первоцветы – дар крымского леса»

Дети не имеют знаний о бережном отношении к природе родного края и навыков правильного поведения в природе, еще не сформировано экологическое сознание, а основы его закладываются в дошкольном возрасте. Цель проекта: формирование представлений о первых цветущих растениях крымского леса – первоцветах, опыт экологически грамотного поведения детей в природе.

Путешествие по координатной плоскости

По курсу математики автора Л.Петерсон в 4-м классе изучается тема «Координатная плоскость». Тема оказалась настолько интересной, что дети сами придумывали и составляли различные фигуры на координатной плоскости. Так возникла идея проведения урока закрепления по данной теме в игровой форме, который построен как путешествие по литературному произведению Стивенсона «Остров сокровищ» с применением различных форм организации учебной деятельности учащихся. Чередование различных видов деятельности способствует поддержанию работоспособности учащихся, поэтому урок насыщен многообразием заданий.


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . poznanie21@yandex.ru
 
ADD