Урок-зачет по теме "Применение производной к исследованию функций" в 10-м классе : Математика

Цели:

  1. Контроль и самоконтроль знаний и навыков по теме “Применение производной к исследованию функций” в системе тестов, дифференцированных по степени сложности.
  2. Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
  3. Воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование:

  1. Плакаты “Определение производной”, “Наибольшее и наименьшее значения функции”, “Графики функций и их производных”.
  2. Тесты

Ход урока

I. Организационный момент.

  • Приветствие.
  • Сообщение цели урока.
  • Объявление плана урока.

II. Основная часть.

Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Сообщение ученика (Учебник, стр. 155, п. 1) [1]

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Работа с классом.

Проверка домашнего задания - опрос по основным теоретическим положениям по теме.

  1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
  2. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
  3. Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
  4. Необходимое условие экстремума.
  5. Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума. Примеры функций, имеющих экстремумы и не имеющих.
  6. Алгоритм отыскания экстремумов функции.
  7. Схема исследования функции (с помощью производной).
  8. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции

a) на отрезке

b) на незамкнутом промежутке

Привести примеры функций:

  1. Имеющих критические точки, в которых f’(x) не существует.
  2. f’(x0) = 0, но x0 не является точкой экстремума.
  3. f(x) = . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
  4. f(x) =. Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
  5. Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке минимума.

(ответ: да, может)

6. Работа по рисункам на доске.

По характеру изменения графика функции указать на каких промежутках производная положительна, на каких - отрицательна (каждая из функций определена на R).

7. Дан график производной функции h(x). Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Ответ: h(x) возрастает на [-5;2], [4;8]

h(x) убывает на (-;-5], [8;+ ).

8. Даны графики производных функций. При каких значениях переменной x функции имеют точки максимума и минимума? Назовите эти точки.

Ответ:

а) x = -2 – точка минимума; x = 2 – точка максимума

б) -4 и 1 – точки максимума; -1 и 3 – точки минимума

в) x = 2 – точка максимума

Проблемная ситуация:

Задача. Определить какое из чисел больше? [7]

Сравнить числа:

(cos 1990) и (1+cos 1991).

Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.

Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.

Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M

В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания функции:

Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x1 и x2 из множества Р, таких, что x2 > x1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) .

Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных условиях для учеников - задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.

Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит знак этого неравенства: M N M + C N + C

Положим С=1990, тогда:

C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 +cos l991.

Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию

f(x) = x + cosx,

то С + М = f(1990), C + N = f(1991).

Итак, имеем две точки x1 и x2:

x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;

надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.

Определим характер монотонности f(x):

так как f\'(x) = 1 — sinx 0 и f\'(x) = 0 при х= , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.

Поэтому: f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N => (cos l990) < (1 + cos l991)

Работа с тестами.

Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на три уровня глубины изучения темы:

А – минимальный уровень

Б – базовый уровень

В – углублённый уровень.

Тесты прилагаются. [6]

III. Заключительная часть.

  • Подведение итогов занятия
  • Объявление оценок
  • Задание на дом

Литература

  1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов средней школы. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под редакцией А.Н. Колмогорова. - М., 1993
  2. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. / С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. - Просвещение, 2001
  3. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике: Библиотека учителя математики / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.Л. Лурье и др. - М., Просвещение, 1993
  4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 2000
  5. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 - 11 классов средней школы. / Б.М. Ивлев, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 1990
  6. Производная и её применение. Дидактические материалы по курсу алгебры и началам анализа (10 - 11 классы). / Санкт-Петербург. Издательство “Свет”, 1995
  7. Использование производной в школьных уравнениях и неравенствах. Методические рекомендации. / О. О. Макарычева - Санкт-Петербург, 1994
Читать еще:


Новые материалы:

Наблюдение за ростом кристаллов в лабораторных условиях :: Авторский вариант лабораторной работы "Исследование явления электромагнитной индукции" (11-й класс) :: Урок физики по теме "Физические величины", проходящий в форме игры "Конкурс эрудитов" :: Полет в космос :: Интегрированный урок (физика + литература + русский язык) на тему "Влияние процессов испарения на формирование погоды" :: Кролик Питер ( Peter Rabbit ), 2018 :: Дом и дача/Мебель/Мебель для спальни/Мебель/Спальня/Комоды и Тумбы/Тумбы / Мебелик / Тумбочка Васко В 117Н ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы - Хелси и Смарт

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы

Приемы самообезболивания родов - Хелси и Смарт

Приемы самообезболивания родов


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD