Тестовые задания по теме: "Касательная к графику функции" : Математика
Познание 21 век - все о науке, образовании и школах

Тестовые задания по теме: "Касательная к графику функции" : Математика

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х: y = f(х) + f \'(х)(x – х)

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х абсциссу точки касания.

2. Найти f(х)

3. Найти f \'(x) и f \'(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f \'(х) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х=3.

Решение.

1. х = 3 – абсцисса точки касания.

2.  f(3) = – 2.

3.  f \'(x) = x2 – 4, f \'(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2, f \'(х)=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х.

1. f(x)=-x-4x+2, х=-1. 1) y=-2x-3; 2) y=2x-1; 3) y=-2x+3; 4) y=2x+3.
2. f(x)=-x+6x+8, х=-2. 1) y=2x-6; 2 )y=10x+12; 3) y=4x+8; 4) y=-10x+8.
3. f(x)=x+5x+5, х=-1. 1) y=7x+8; 2) y=8x+7; 3) y=9x+8; 4) y=8x+6.
4. f(x)=2cosx, х= 1) y= 2) y= 3) y= 4) y=
5.  f(x)=tgx, х= 1) y=x; 2) y=x+ 3) y=x- 4) y=x-1.
6. f(x)=1-sin2x, х=0. 1) y=1-2x; 2) y=2x; 3) y = -2x; 4) y=2x+1.
7. f(x)= х=-2. 1) y = -x+1; 2) y = x+1; 3) y = -x-1; 4) y = -x-2.

8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.

9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e-1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.

10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x-)+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.

Ответы к упражнениям

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 3 2 2 2 3 1 3 2 4 4

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у=- х- х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у\' = х-2х-1; к= у\'(х)= х-2х-1=2.

Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)=3, (х)=-1, откуда (у)= -2, (у)= . Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1;)

Ответ: (3;-2) и (-1;).

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть х- абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f \'(x)=2-. К= f \' (х)=2-=1.

Решив уравнение 2-=1, получим х=1.

Ответ: 1.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

1. f(x)= х+е, у(х)= -х. 1) -; 2) 0; 3) ; 4) 1.
2. f(x)=2+х, у(х)= 2х. 1) 1; 2) 4; 3) 0; 4) .
3. f(x)=х-5х, у(х)= -х. 1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2.
4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0. 1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1.
5. f(x)=-х-е, у(х)= 4-2х. 1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2.

6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х- 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.

7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.

8. К графику функции у = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.

9. К графику функции у =- проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.

10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.

Ответы к упражнениям

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 1 4 2 2 1 4 3 2 1

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом

Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x= проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

Решение.

f\'(x) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.

k= f \'(x)=tg, где x- абсцисса точки касания, а - угол наклона касательной к оси Ох.

f \'(x)=6x+5;

f \'(x)= f \'()=6. tg=6.

Ответ: 6.

Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.

Решение. f \'(x)= x-3. Из условия f \'(x) = tg 45° найдем x:  x – 3 = 1, x= 4.

1. x= 4 – абсцисса точки касания.

2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.

3. f \'(4) = 4 – 3 = 1.

4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной

Ответ: y=x-7.

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.

Решение. k= f\'(x)=tg.

Находим f \'(x)= 2xlnx+x=2xlnx+x=x(2lnx+1).

При x=1 получим f \'(1)=1, откуда tg=1 и, значит, =.

Ответ: .

УПРАЖНЕНИЯ

К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

1. f(x)= 2+x-2x, x=1. 1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0.
2. f(x)= , x=8. 1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16.
3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1. 1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21.
4. f(x)= 3x-2lnx, x=2. 1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5.
5. f(x)= -x+14, x=1. 1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77.

Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x

6. f(x)=e-x, x=1. 1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2.
7. f(x)=2sinx+2, x=0. 1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2.
8. f(x)=4cosx-1, x=. 1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1.
9. f(x)=2+3, x=4. 1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5.

10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx - x, в точке x=1. 1) 2) 3) arctg2; 4)

Ответы к упражнениям

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 3 1 3 2 1 4 3 2 4

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x- 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

Решение.

При х =2, находим у = 4-8+3=-1-5, то есть точка М не лежит на кривой y = x-4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х) – точка касания.

у \' =2х-4, k = 2x- 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у=-5-(2х-4)(2-х). Поскольку точка (х) лежит на кривой, получим y = x-4x+3.

Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);

x-4x+3=2x-8x+3, x- 4x=0, (х)=0, (х)= 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k=4 (при х=4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

УПРАЖНЕНИЯ

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

1. f(x)=4х-8х-2, М(3;-90). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
2. f(x)=7х-2х-5, М(2;-93). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.
3. f(x)=6х-4х-1, М(1;-23). 1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3.
4. f(x)=х-8х-2, М(1,5;-54). 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
5. f(x)=х-9х-5, М(-1,5;4,5). 1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) - 3.
6. f(x)=7х-7х-1, М(2;-50). 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х- 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.

1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х+ 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.

1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.

9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х+3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90o?.

1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.

10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у=. Найти уравнения этих касательных.

1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.

Ответы к упражнениям

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер ответа 2 1 3 4 4 1 2 4 2 4

V. Нестандартные задачи, связанные с касательной

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).

6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.

7. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

8. Найдите угол между касательными к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: = 45°.

9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.

10. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: 1 = arctg 6, 2 = arctg (– 6).

11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).

12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.

13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

Читать еще:

Новые материалы:

Окружающий мир и музыка. В гости к весне :: Олимпиада по математике для обучающихся 2–4-х классов :: Эти необычные озера :: Мамин платок. Урок изобразительного искусства. 3-й класс :: Полное внутреннее отражение. Урок-исследование в 11-м классе :: Птица, 2017 ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

Самое популярное:
Карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Российские студенты продолжают сходить с ума. Теперь и в Орле!

Не успел один несчастный влюбленный студент из Бауманки угробить сначала предмет своей влюбленности, а потом и себя, как в Орле уже, наоборот, девушка поступает со своим возлюбленным еще круче, и тоже исключительно из романтических чувств. Правда, на себя ей решимости уже не хватило.

Масленица - 2018

Бакшевская Масленица (Маслострой) - самая массовая самодеятельная масленица современной России - ждет новых участников!

Масленица - 2018

Бакшевская Масленица (Маслострой) - самая массовая самодеятельная масленица современной России - ждет новых участников!


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . poznanie21@yandex.ru