Урок математики в 10-м классе (профильный курс) "Применение производной к решению математических задач практического содержания" : Математика

Урок математики в 10-м классе (профильный курс) "Применение производной к решению математических задач практического содержания" : Математика

Применение производной к решению математических задач практического содержания (10 класс, профильный курс математики)

Цель: формирование  практических  навыков  применения теоретических  знаний  и общеучебных компетенций учащихся.

Задачи:

познавательный аспект - расширение общего кругозора школьников,  стимулирование познавательной деятельности, умение находить и обрабатывать информацию;

учебный аспект- активизация мыслительной деятельности учащихся при решении задач прикладного характера, алгоритмизация деятельности;

воспитательный аспект - развитие умения работать в команде, активно слушать, уважать чужое мнение, формировать потребности в самовыражении и научном творчестве.                 

Введение

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения.

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy, причем dy=y\'(x)dx.

Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них. (Образцы задач может приводить как сам учитель, так и заранее подготовленные ученики).

Задача №1

Докажите, что уравнение  имеет только один действительный корень.

Решение:

Рассмотрим функцию и найдем её интервалы монотонности. Имеем:

Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞).

На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более ∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем

Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.

Задача №2. 

При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпенди-  кулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени-
.Откуда следует:. Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Задача №3.

Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы  F, приложенной к центру  тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.

Решение:

Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы  F:N = P-F sinα, поэтому сила трения  F тр = kN = =k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:

Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу   как функцию угла α:
F(α)= kP/(ksinα+cosα).   F\'(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)². Тогда F\'(α)=0 при k=tgα.
Определим знак второй производной в этой точке…

 Из  решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент  трения мал, веревка должна быть длинной.

Задача№4.

Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение:  Исследуем расход горючего с помощью производной: f\'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f\'(х)=0 при
х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f\'\'(х)=0,0034>0, следовательно, рас-
ход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Задача№5.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию  U(t)=0,15t² – 2t² + 200, где t – месяцы,  U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.

Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной:U\'(t)=0,45t2 - 4t  U\'\'(t)=0,9t-4
U\'\'\'(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е.при  t=8,9.Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4.Так как U\'\'\'(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:

  1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;
  2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.

На пятом месяце ( точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из  
кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.

Задачи из биологии и химии

Биологический смысл производной.  

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а  Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Химический смысл производной.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm  величины  m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .

Рассмотрим несколько задач

 Задача №6.

Зависимость между количеством х вещества, получаемого в результате некоторой
химической реакции и временем t выражается уравнением  Х=А(1+е) Определите скорость химической реакции в момент времени t.

Задача №7.

Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шалса определяется уравнением  y=0,003x- 0,0004x  , где x- число дней от распускания почек, y-накопление биомассы в кг на 1 куст. Равенство отражает зависимость величин x и y как средний результат массовых
наблюдений. Выясните, как изменится сухая биомасса при изменении от 50 до 60 дней.

Задача №8.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Решение: 0. - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо
воздействиям.

Предлагается творческое задание (при наличии времени на уроке, если имеем в наличии сдвоенные уроки. Если такая возможность отсутствует, творческое задание выполняется дома).

Задача №9.

За последние 10 лет численность грызунов в городе Н выросла в 5 рази достигла 1 миллиона особей: по одной крысе на каждого жителя. За год одна пара крыс способна воспроизвести 50 штук себе подобных. По словам эпидемиологов, крысы являются переносчиками многих болезней – чумы, бешенства, энцефалита. Составьте задачу по приведенным данным и решите её.

Задача №10.

Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Подведение  итогов.

Читать еще:


Новые материалы:

Выступление агитбригады "Зеленушки" в рамках волонтерской деятельности :: Урок окружающего мира по теме "Многогранный мир чувств" :: Уроки литературного чтения в современной начальной школе :: Урок окружающего мира "Кошки". 1-й класс :: Урок физики в 9-м классе "Электромагнитное поле" :: Огни большой деревни, 2016 :: Дом и дача/Мебель/Шкафы, комоды, полки/Полки/Детская мебель/Шкафы, тумбы, комоды/Полки / Витра / Полка Витра ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

Самое популярное:
Состояние воздуха: Карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Обитель зла: Последняя глава ( Resident Evil: The Final Chapter ), 2016

В предыдущей части франшизы Вескер предал Элис в Вашингтоне, и героиня лишилась своих сверхъестественных способностей и стала уязвимой для врагов. Однако она не бросила бороться за выживание человечества. Вместе со своими старыми знакомыми Элис отправляется туда, где все начиналось – в Раккун Сити. Тем временем корпорация «Амбрелла» готовит последний сокрушительный удар по выжившим в апокалипсисе людям. Элис предстоит сразиться с ордами зомби и новыми монстрами-мутантами ради спасения остатков человечества.

Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Детский оздоровительный лагерь: Муниципальное образовательное учреждение дополнительного образования детей "Детский оздоровительно-образовательный лагерь "Юность"

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . poznanie21@yandex.ru
 
ADD