Урок математики в 10-м классе (профильный курс) "Применение производной к решению математических задач практического содержания" : Математика

Применение производной к решению математических задач практического содержания (10 класс, профильный курс математики)

Цель: формирование  практических  навыков  применения теоретических  знаний  и общеучебных компетенций учащихся.

Задачи:

познавательный аспект - расширение общего кругозора школьников,  стимулирование познавательной деятельности, умение находить и обрабатывать информацию;

учебный аспект- активизация мыслительной деятельности учащихся при решении задач прикладного характера, алгоритмизация деятельности;

воспитательный аспект - развитие умения работать в команде, активно слушать, уважать чужое мнение, формировать потребности в самовыражении и научном творчестве.                 

Введение

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, экономике, медицине, экологии, а так же в быту. Мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной . Эти задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения.

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов измерения не целесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы. Теоретической основой одного из простейших приемов приближенных значений вычислений является понятие дифференциала. Приближенное значение приращение функции называется дифференциалом функции и обозначается dy, причем dy=y\'(x)dx.

Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Рассмотрим некоторые из них. (Образцы задач может приводить как сам учитель, так и заранее подготовленные ученики).

Задача №1

Докажите, что уравнение  имеет только один действительный корень.

Решение:

Рассмотрим функцию и найдем её интервалы монотонности. Имеем:

Производная f’(x) обращается в нуль в четырех точках: -2, -1, 1, 2. Эти точки разбивают числовую прямую на пять промежутков: (- ∞; -2), (-2; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; +∞).

На каждом из указанных промежутков производная сохраняет постоянный знак. Отсюда заключаем, что на каждом из этих промежутков функция y = f(x) монотонна, т.е. или возрастает или убывает. Тогда график функции на каждом из указанных промежутков может пересекать ось абсцисс не более ∞ чем в одной точке. Это значит, что функция y = f(x) на каждом из рассматриваемых промежутков может иметь не более одного корня, причем корни функции могут быть в тех и только тех промежутках, на концах которых функция имеет разные по знаку значения. Имеем

Так как f(x) имеет различные знаки только на концах промежутка (-1; 1), то заданное уравнение имеет лишь один действительный корень, лежащий внутри этого интервала.

Задача №2. 

При извержении вулкана камни горной породы выбрасываются перпенди-  кулярно вверх с начальной скоростью 120 м/ с. Какой наибольшей высоты достигнут камни, если сопротивлением ветра пренебречь?

Решение: Вещество выбрасывается перпендикулярно вверх. Высота камня h, функция времени-
.Откуда следует:. Следовательно, 0= 120-9,8t и t≈13 сек. Тогда h=745м, т.е. камни горной породы достигают уровня 720 м от края вулкана.

Задача №3.

Нагруженные сани движутся по горизонтальной поверхности под действием силы  F, приложенной к центру  тяжести. Какой угол α должна составлять линия действия силы F с горизонтом, чтобы равномерное движение саней происходило под действием наименьшей силы? Коэффициент трения саней о снег равен к.

Решение:

Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие. Сила нормального движения саней и вертикальной составляющей силы  F:N = P-F sinα, поэтому сила трения  F тр = kN = =k(P-Fsinα). Сани будут двигаться равномерно при условии компенсации горизонтальных сил:

Fx=Fтр., то есть Fcosα=k (P-Fsinα). Далее находим силу   как функцию угла α:
F(α)= kP/(ksinα+cosα).   F\'(α) =kP(sinα-kcosα)/(ksinα+cosα)². Тогда F\'(α)=0 при k=tgα.
Определим знак второй производной в этой точке…

 Из  решения этой задачи можно сделать практический вывод: когда необходимо везти на санях груз по дороге с большим коэффициентом трения, нужно тянуть сани за короткую веревку. Если же коэффициент  трения мал, веревка должна быть длинной.

Задача№4.

Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией
f(x)=0,0017х-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение:  Исследуем расход горючего с помощью производной: f\'(х)=0,0034х-0,18.Тогда f\'(х)=0 при
х≈53. Определим знак второй производной в критической точке: f\'\'(х)=0,0034>0, следовательно, рас-
ход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим. f(53)≈5,43 л.

Задача№5.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию  U(t)=0,15t² – 2t² + 200, где t – месяцы,  U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия.

Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной:U\'(t)=0,45t2 - 4t  U\'\'(t)=0,9t-4
U\'\'\'(t)=0,9. Момент наименьшего оборота при U(t)=0, т.е.при  t=8,9.Наименьший оборот был на девятом месяце. Первая производная показывает экстремальное изменение оборота. Из U(t)=0 следует t=4,4.Так как U\'\'\'(t)>0, то на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

Так, например, по решению предложенной задачи можно сделать выводы:

  1. В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота;
  2. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства.

На пятом месяце ( точка перегиба) что-то было предпринято и предприятие стало выходить из  
кризиса, а на девятом месяце стало набирать обороты.

Задачи из биологии и химии

Биологический смысл производной.  

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а  Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Химический смысл производной.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm  величины  m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении tΔ к нулю- есть скорость химической реакции в данный момент времени .

Рассмотрим несколько задач

 Задача №6.

Зависимость между количеством х вещества, получаемого в результате некоторой
химической реакции и временем t выражается уравнением  Х=А(1+е) Определите скорость химической реакции в момент времени t.

Задача №7.

Закон накопления сухой биомассы у винограда сорта Шалса определяется уравнением  y=0,003x- 0,0004x  , где x- число дней от распускания почек, y-накопление биомассы в кг на 1 куст. Равенство отражает зависимость величин x и y как средний результат массовых
наблюдений. Выясните, как изменится сухая биомасса при изменении от 50 до 60 дней.

Задача №8.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции. У=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Решение: 0. - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо
воздействиям.

Предлагается творческое задание (при наличии времени на уроке, если имеем в наличии сдвоенные уроки. Если такая возможность отсутствует, творческое задание выполняется дома).

Задача №9.

За последние 10 лет численность грызунов в городе Н выросла в 5 рази достигла 1 миллиона особей: по одной крысе на каждого жителя. За год одна пара крыс способна воспроизвести 50 штук себе подобных. По словам эпидемиологов, крысы являются переносчиками многих болезней – чумы, бешенства, энцефалита. Составьте задачу по приведенным данным и решите её.

Задача №10.

Зависимость суточного удой У в литрах от возраста коров Х в годах определяется уравнением У(х)= -9,3+6,86х-0,49х , где х>2.Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Подведение  итогов.

Читать еще:


Новые материалы:

План урока в 8–9-х классах "Комбинаторика и вероятность" :: Обобщающий урок по алгебре в 8-м классе по теме "Алгебраические дроби" :: Арифметическая и геометрическая прогрессии :: Урок математики в 6-м классе по теме "Деление дробей" :: Урок обощения изученного материала по математике :: Марджи Клаус ( Margie Clause ), 2019 :: Столы и стулья/Компьютерные столы / MnogoMeb / Стол компьютерный - трансформер СМ 02.01 ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Год свиньи 2019 - чем он характеризуется и что несет : новый год - Хелси и Смарт

Свинья всегда стояла в животном мире особняком. Решая сходные с человеческими задачи, построив на совершенно иной генетике организм настолько близкий к человеческому, что хоть сейчас сердце пересаживай (об этом чуть ниже), свинья остается одинаково свободной в любой обстановке - хоть в грязной луже, хоть на дворцовом паркете.

Лабораторная работа №3 "Знакомство с внешним строением растения". 5-й класс : Биология

Урок биологии в 5-м классе по программе Понаморевой И.П. является 2-м в теме «Растения». Тип урока: урок комплексного применения знаний с целью продолжить формирование представления об органах растений: вегетативных и генеративных; значении их для растения; развитие понятий “орган”, «голосеменные», «покрытосеменные» «вегетативные органы» «генеративные органы» формирование представлений о двух группах органов, вегетативных (побег и корень) и генеративных (цветок, плод с семенами).

Контроль знаний учащихся 10-го класса по темам "Алкены"и "Алкины" : Химия - Хелси и Смарт

Данная работа предложена учащимся с целью контроля усвоения программного материала по непредельным углеводородам (алкинам и алкенам) и задачами: проверить уровень усвоения номенклатуры и изомерии, умение получать алкены и алкины, составлять уравнения реакций с их участием, решать качественные и расчетные задачи по данным темам. Работа составлена с учетом индивидуального подхода: 1 вариант - облегченный; 2 вариант - средний уровень; 3 вариант - усложненный.

Тестовые задания по экологии : Экология

Тестовые задания предназначены для проверки и закрепления знаний учащихся 8–11-х классов по курсу «Основы экологии». Данные тесты дают возможность быстро и объективно организовать проверку знаний учащихся по разделам «Основы экологии», «Учение о биосфере», «Экология популяций», «Взаимоотношения организмов», «Экология экосистем».


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD