Различные математические подходы к решению физических задач : Математика

Роль задач в физике огромна. Понимать физику — это значит уметь решать задачи, уметь применять теоретические знания к практическим ситуациям. Именно решение задач позволяет глубоко усвоить материал, развить логическое мышление, творческую фантазию и лучше понимать явления природы.

Очень важно в этом случае правильно и оптимально применять математические знания и приёмы. Часто сопоставить и связать отдельные темы таких предметов как физика и математика представляет для учеников проблему.

Например, такие математические понятия как функция, график функции, область определения функции и так далее учащиеся не всегда могут применять к физическим задачам.

На уроках математики решается целый ряд вопросов, тесно переплетающихся с законами, описывающими физические явления.

Успешно решать физические задачи без использования математических знаний и умений невозможно. Большинство задач требует вычисления, составления и решения уравнений, анализа функциональных зависимостей, построения и чтения графиков и так далее.

Задачи по физике можно разбить на вычислительные, качественные, графические и экспериментальные.

В настоящее время больше внимания стали уделять графическим задачам: с использованием таблиц данных; задач на определение вида функциональной зависимости; на определение по графику значения физической величины; графическое отображение зависимости одной величины от другой; анализ процессов, представленных графически.

Возможны и обратные задачи: по полученной в результате математических преобразований формуле построить график зависимости физических величин.

При чтении графиков последовательно выполняют следующие действия:

1. по обозначениям на осях координат устанавливают какая пара физических величин находится в функциональной зависимости; какая величина является функцией, а какая аргументом.
2. устанавливают качественно общий вид зависимости (как изменяется одна величина при изменении другой)
3. устанавливают физический смысл зависимости.

Рассмотрим математический и физический подходы к одной и той же линейной функции.

y = kx + b

Например, y = 2x + 3

1. Линейная функция, график — прямая.

Область определения — вся числовая прямая (D(y) = R)

Область значений — вся числовая прямая (E(y) = R)

2. Так как b = 3, то график пересекает ось OY в точке (0;3)
3. Так как угловой коэффициент прямой k = 2, 2 > 0, то функция возрастающая.

Угловой коэффициент k равен производной функции f в точке x₀, где x₀ — абсцисса точки касания. Это алгебраический смысл производной.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла α, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Это геометрический смысл производной.

k = tg α = f \' (x₀) = 2

Аналогичную линейную зависимость имеет график скорости от времени v(t) при равноускоренном движении v = v₀ + at, где a — ускорение,  v₀ — начальная скорость.

Например, v = 3 + 2t

Рассмотрим эту зависимость с момента t = 0 в осях v; t

Графически это выглядит так.

Видно, что

1. Скорость является функцией, а время — аргументом. Скорость изменяется со временем линейно.
2. С течением времени скорость увеличивается, значит, движение является равноускоренным с начальной скоростью 3 м/с.
3. Ускорение определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.

a = (Δv) / (Δt) = 2 м/с²

То есть геометрический смысл ускорения — это tg α, а алгебраический — это производная скорости по времени a = v \' (t)

Наглядность графического изображения даёт возможность определить скорость в любой момент времени.

На примере одной и той же линейной функции мы показали связь математического и физического подходов к понятиям функциональной зависимости.

При подготовке к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу физического содержания на равноускоренное движение.

Задача.

При движение тела по прямой перемещение x от некоторой точки изменяется по закону

x(t) = 7t² – 4t + 15

(t — время движения в секундах)

Найти ускорение (м/с²) тела через 3 с. после начала движения.

Решение.

1 способ (математический)

Чтобы найти ускорение, надо найти вторую производную от перемещения x\'\' (t)

x\' (t) = v (t) = (7t² – 4t + 15)\' = 14t – 4

a (t) = v\' (t) = (14t – 4)\' = 14

Ответ: 14 м/с²

2 способ (физический)

Запишем общий вид зависимости x (t) для равноускоренного движения

x (t) = x₀ + v₀t + at²/2

Сравнивая его с данной в задаче зависимостью x(t) = 15 – 4t + 7t², находим, что коэффициент при t²    a/2 = 7

Следовательно, a = 14 м/с².

Вывод.

Интеграция предметов, как мы видим,  ведёт учеников к осознанию необходимости приобретения знаний и умений, которыми они овладевают в процессе обучения и применения их на практике при решении конкретных задач.