Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов : Математика

Цель урока:

  • Повторить ранее изученный теоретический материал, изучить теорему косинусов и её следствия, учить делать теоретические обобщения.
  • Развивать логику мышления при решении специально подобранных задач.
  • Воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Ход урока

I. Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний

(Фронтальная работа с классом)


Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

  1. Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.
  2. Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.
  3. Рис.1. Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.
  4. Чему равен квадрат расстояния между точками А (х1; у1) и В (х2; у2).
  5. Рис. 2. Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA равен .
  6. Рис. 3. a | | b. Что вы можете сказать об углах 1 и 2. Односторонние, 1 +2 = 180° . Если 2 = , тогда 1 = 180° -
  7. Чему равны: sin(180° - ) = ? cos(180° - ) = ?

III. Изучение нового материала.

Учащимся предлагается задача на готовом чертеже. Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол.

Первый способ решения задачи. (Устно)

Дано:

ABC,

AC = b, AB = c.

A

__________________

Найти:

BC = a = ?

Проведём CH – высоту.

1) Прямоугольный ACH:

AH = bcosA, CH =

или CH = bsinA

BH = AB – AH.

CB2 = a2 = CH2 + BH2

a = .


Рис. 4

Второй способ решения задачи. Координатный метод.
1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.

2. Запишем координаты точек: B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC2 = a2 = (bcosA - c)2 + (bsinA)2 =
= b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A =
= b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA =
= b2 + c2 – 2bccosA.

a2 = b2 + c2 – 2bccosA – теорема косинусов
b2 = a2 + c2 – 2accosB
c2 = b2 + a2 – 2abcosC


Рис. 5

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

Если С = 90°, то cosC = 0 и 2abcosC = 0, тогда c2 = a2 + b2.

Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов.

1 следствие.    
Дано:

ABC

AC = b,

AB = c,

AH = bc

__________________

Найти: a

Решение:

Возможны 2 случая:

а) A – острый, то cosA > 0,

б) A – тупой, то cosA < 0,

а) Если A – острый, тогда

по теореме косинусов

a2 = b2 + c2 – 2bccosA


Рис. 6

В прямоугольном ACH: bc = bcosA. Так как A – острый, то cosA > 0, тогда a2 = b2 + c2 – 2bcc, то есть квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

Случай, когда угол, лежащий против неизвестной стороны тупой рассмотреть самостоятельно. Следующий урок начнём с проверки этого задания. (т.к. cosA < 0, то a2 = b2 + c2 + 2bccosA, т.е. квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон плюс удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.

2 следствие.  

Дано:

ABCD – параллелограмм,

AB = CD =a,

BC = AD = b.

__________________

Найти: d12 + d22 .

Решение:

ABC: d12 = a2 + b2 – 2abcosB.

ABD: d22 = a2 + b2 – 2abcosA = a2 + b2 – 2abcos(180° - B) = a2 + b2 + 2abcosB.

d12 + d22 = a2 + b2 – 2abcosB + a2 + b2 + 2abcosB = a2 + b2 + a2 + b2.

d12 + d22 = 2 a2 + 2 b2.


Рис. 7

Вывод: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

3 следствие.

Дано:

ABC,

AB = c,

AC = b,

BC = a.

__________________

Найти: ma

Решение:

Достроим ABC до параллелограмма ABA1C.

AA12 + BC2 = 2b2 + 2c2 . BC = a, 2ma = AA1.

(2ma)2 + a2 = 2b2 + 2c2

4ma2 = 2(b2 + c2) – a2

ma2 =  

ma =  

mb =

mc =


Рис. 8

Вывод: В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан ma, mb, mc вычисляются по формулам: ma = , mb = , mc = .

IV. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения.

Задача: В треугольнике две стороны равны 20 см и 21 см, а синус угла между ними равен 0,6. Найти третью сторону. Сколько решений имеет задача?

Дано:

sin = 0,6 ,

AB = 20 см,

AC = 21 см.

__________________

Найти: BC.

Решение:

sin = 0,6   может быть острым или тупым.

 

1 случай:  – острый

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos.

Так как  – острый, то cos>0.

Тогда cos =  = =  = 0.8

BC =  =  = 13(см).


Рис. 9

2 случай:  – тупой.

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos

Так как  – тупой, то cos<0

cos = -= - = -0.8

BC =  =  (см).

Ответ: 1) BC = 13 см. 2) BC =  см.


 Рис. 10

V. Домашняя работа:

п. 98 №1025(б, в, г).

VI. Подведение итогов урока.

Читать еще:


Новые материалы:

Подходы к использованию информационно-компьютерных технологий в обучении :: Методическая разработка урока по географии в 7-м классе по теме "Германия" :: Урок в 10-м классе по теме "Энергетика" :: Урок географического краеведения в 6-м классе (региональный компонент) "Характеристика населения города Белогорска" :: Географическое положение Африки :: Майнкрафт ( Minecraft ), 2019 :: Дом и дача/Мебель/Детская мебель/Детские столы/Растущие парты / ДЭМИ / Растущая парта ДЭМИ ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - ВМЭШ

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы - ВМЭШ

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы

Приемы самообезболивания родов - ВМЭШ

Приемы самообезболивания родов

Сценарий новогоднего утренника (детский сад) - ВМЭШ

Сценарий новогоднего утренника (детский сад)

Девятая жизнь Луи Дракса (The 9th Life of Louis Drax, Великобритания, 2016) - КиноАнализ

Этот фильм заслуживает растаскивания на цитаты. "С возрастом я сам научился понимать, чего от меня хотят", "Мужчины всегда думают, что раз она красивая - значит, она хорошая" - и много другого. Вообще очень достоверный фильм в отношении психологических деталей. Рекомендую к просмотру.

Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - ВМЭШ

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы - ВМЭШ

Сценарий Новый Год для детей подготовительной группы

Приемы самообезболивания родов - ВМЭШ

Приемы самообезболивания родов

Сценарий новогоднего утренника (детский сад) - ВМЭШ

Сценарий новогоднего утренника (детский сад)

Девятая жизнь Луи Дракса (The 9th Life of Louis Drax, Великобритания, 2016) - КиноАнализ

Этот фильм заслуживает растаскивания на цитаты. "С возрастом я сам научился понимать, чего от меня хотят", "Мужчины всегда думают, что раз она красивая - значит, она хорошая" - и много другого. Вообще очень достоверный фильм в отношении психологических деталей. Рекомендую к просмотру.


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD