Обучение одаренных детей математике. 5-й класс, второе полугодие : Математика

В предыдущих очерках, [1], [2, [3], [4], [5] рассказывалось о реализуемой в ГБОУ «школа-интернат Интеллектуал» авторской программе углублённого интенсивного обучения математике одарённых детей, начиная с первого класса. Во всех предыдущих очерках рассказывалось о ходе обучения во втором полугодии предыдущего класса и о первом полугодии текущего. В этой же статье мы впервые продолжим рассказ о ходе этого эксперимента, описывая процесс обучения 5-классников во втором полугодии, за период с февраля по май 2015. Ограничиваясь в этот раз одним полугодием (вместо года), мы имеем в виду в дальнейшем описывать учебный год целиком.

Итак, в прошлый раз в [5] мы остановились перед конспектом №14 «Многочлены и ряды», который и в этом учебном году, как и в прошлом, пришёлся на четвёртый модуль, январь-февраль.

Как обычно, в начале мы приводим все относящиеся к этой теме определения: одночленов, их степеней и коэффициентов, алгебраической суммы, правила сложения и умножения одночленов и многочленов и т.д. Причём мы не ограничиваемся в определениях многочленами только от одной переменной, хотя и оговариваем, что именно с ними в основном нам и предстоит иметь дело в дальнейшем. Отмечаем, что сложение и умножение многочленов, как и чисел, обладает всеми привычными нам свойствами: ассоциативностью, коммутативностью и дистрибутивностью.

Установив простейшие свойства поведения степеней многочленов при сложении и умножении и неприводимость некоторых из них, выводим алгоритм (Евклида) деления многочленов с остатком.

Доказываем существование и единственность решения соответствующего уравнения: F(x) = G(x)Q(x) + R(x), где F и G – данные многочлены, а Q и R – искомые (неизвестные), причём degR

Разложение многочленов на неприводимые многочлены-множители производится с помощью разных приёмов и требует, зачастую, незаурядной изобретательности. Приведём некоторые, наиболее простые и часто употребимые.

Метод группировки слагаемых.

Объединяются вместе слагаемые, имеющие общий множитель. Этот множитель выносится за скобки. Иногда обнаруживается, что у разных слагаемых при этом эта скобка оказывается одной и той же, и тогда уже она, как общий множитель, выносится за скобку. Все эти действия основаны на свойстве дистрибутивности операций сложения и умножения многочленов.

Использование формул сокращённого умножения

Начнём с нового подхода к выводу старых формул сокращённого умножения, известных нам со второго класса. Мы можем каждый многочлен от нескольких переменных рассматривать как многочлен от одной переменной, считая все остальные переменные фиксированными числами-коэффициентами. Так, например,  многочлен 5x2y3 – 2xy2 + 3y – 1 можно рассматривать как многочлен второго порядка от переменной х: (5у32 – (2у2)х + (3у – 1) с коэффициентами, взятыми в скобки. А можем и как многочлен третьего порядка от переменной у: (5х23 – (2х)у2 + 3у – 1. В первом случае свободным членом, например, служит выражение 3у – 1, а во втором – число (– 1).Тогда, по теореме Безу Р(а) = а2– b2 и Q(a) = a3 – b3 имеют очевидный общий корень а = b, а, стало быть, делятся без остатка на (a – b). Делим и получаем соответствующие формулы. Аналогично, многочлен К(а) = a3+b3 имеет, очевидно, корень а = – b, а, стало быть, делится без остатка на (a + b). Делим и получаем соответствующую формулу.

Использование же этих формул для разложения не представляет особых трудностей и уже применялось нами ранее. Напомним парочкой примеров, как это делается:

а) Разложим на множители многочлен третьего порядка 8t3 – 12t2 + 6t – 9.

Наличие третьей степени и чередование знаков навеивают мысли о кубе разности.

Проверим это: (2t)3 – 3 × (2t)2 + 3 × (2t) – 9 = (2t)3 – 3 × (2t)2 + 3 × (2t) – 1 – 8 = (2t – 1)3 – 8.

А тут мы видим уже разность кубов!

(2t – 1)3 – 8 = (2t – 1)3 – 23 = (2t – 1 – 2)((2t – 1)2 + (2t – 1) × 2 + 22) = (2t – 3)(4t2 – 4t + 1 + 4t – 2 + 4) = (2t – 3)(4t2 + 3)

б) Разложим на множители многочлен второго порядка a2 + 3b2 – 4ba – 6b – 9.

Многочлен состоит из 5 членов и попытки как-то сгруппировать члены, имеющие общий множитель не приводят к успеху. С другой стороны, наличие двух квадратов у а и b и их совместного произведения ab заставляет задуматься о формуле квадрата разности. Чтобы получить a2 и (–4ba) в этой формуле должны быть a и –2b: (a – 2b)2 = a2 – 4ab + 4b2.

Но в многочлене-то стоит перед b2 коэффициент 3, а не 4!

Значит, нужно вычесть b2:

a2 + 3b2 – 4ba – 6b – 9 = (a – 2b)2 – b2 – 6b – 9 = (a – 2b)2 – (b2 + 6b + 9) = (a – 2b)2 – (b + 3)2.

Теперь применяем к полученному выражению формулу для разности квадратов:

(a – 2b)2 – (b + 3)2 = (a – 2b – b – 3)(a – 2b + b + 3) = (a – 3b – 3)(a – b + 3).

Формула Виета для приведённого квадратного трёхчлена

Ну, это самое простое, да к тому же и проходили с вами недавно, не успели ещё (надеюсь) забыть.
Если многочлен х2 + ах + b разложим в произведение многочленов меньшей степени, то это должны быть два многочлена первой степени, и потому должны выглядеть как х – р и х – q.
Но если мы раскроем скобки в произведении (x – p)(x – q), то придём к тому, что a = – (p + q), a b = pq. Это наблюдение позволяет быстро и легко разлагать на множители приведённые квадратные трёхчлены, в которых свободные члены имеют немного делителей (лучше всего, когда они простые числа).
Теорема Безу позволяет разлагать на множители иногда и многочлены более высоких порядков. Если «угадать» какой–нибудь корень многочлена (это легко сделать, если корень этот равен небольшому по модулю целому числу, например ±1, ±2, ±3)

Пример: разложим на множители многочлен Р(Х) = х3 – 7x2 + 16x – 12.

Легко проверяется, что Р(2) = 0 и потому Р(Х) = (Х – 2)Q(X), где degQ = 2, причём старший коэффициент Q(X) равен 1, и потому дальнейшее разложение проходит по формуле Виета.

После этого краткого обзора некоторых приёмов разложения многочленов в произведение неприводимых, уместно потренироваться в практическом применении этих приёмов.

Приводимые ниже примеры заимствованы из «листочков» 57-ой школы.

Упражнения

Читать еще:


Новые материалы:

Тема урока: "Имя существительное. Повторение" :: Лингвистический КВН, 5-й класс :: Смысловые группы наречий :: Уроки с использованием ИКТ в 8-м классе по теме "Портретный очерк" :: Урок русского языка по теме "Имя прилагательное. Систематизация и обобщение изученного". 5-й класс :: Властелины вселенной ( Masters of the Universe ), 2019 :: Комоды / MOON TRADE / Комод Кааба-3 Модель 390 ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тестовые задания по экологии : Экология

Тестовые задания предназначены для проверки и закрепления знаний учащихся 8–11-х классов по курсу «Основы экологии». Данные тесты дают возможность быстро и объективно организовать проверку знаний учащихся по разделам «Основы экологии», «Учение о биосфере», «Экология популяций», «Взаимоотношения организмов», «Экология экосистем».

Карта ветров и загрязнения воздуха в режиме реального времени

Пока сайт Мосэкомониторинга никак не откроется вновь, предлагаю посмотреть на глобальную карту ветров с данными загрязненности воздуха диоксидом серы, предоставляемую NASA. Эта карта настолько завораживает, что на нее можно смотреть вечно.

Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD