Уравнение с двумя переменными. 6-й класс : Математика

Цели:

  • углубление и  расширение знаний  по предмету;
  • развитие математического кругозора,  логического мышления;
  • стимулирование устойчивого интереса к математике.

Задачи:

  • развитие математических способностей и логического мышления;
  • развитие познавательного интереса, умение применять полученные знания в нестандартных задачах.

Каждый год в школе проводится олимпиада по математике. Задачи, которые предлагают  на олимпиадах разного уровня, чаще всего являются нестандартными.  Для их решения нужно уметь использовать материал школьной программы в нестандартных, непривычных для ребенка ситуациях. Внеурочная деятельность по предмету позволяет учителю  решать этот вопрос.  Чем раньше удается сформировать у учащихся интерес к предмету, тем глубже будут знания. А радость от полученного решения трудной нестандартной задачи будет велика.
Среди тем, предлагаемых для внеклассной работы с учащимися 5-6 классов, есть задачи, которые можно свести к уравнению с несколькими переменными.  В них число переменных меньше, чем число уравнений.  Это вызывает определенную трудность. С другой стороны, учащиеся в 5-6 классе не владеют в нужной мере методами решения уравнений и систем. Обычно  решению помогают некоторые дополнительные условия, сформулированные в задаче. Речь идет о заданиях, в которых надо решить уравнение в целых  или натуральных числах.
В этой работе мы рассмотрим задачи для внеклассной работы с учащимися  5-6 классов, которые сводятся к уравнению с двумя переменными (неопределенные уравнения)  и методы их решения.

1. Использование понятия НОД (наибольший общий делитель)

Задача. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько яблок и апельсинов было в каждом подарке?

Решение. Все подарки одинаковые, т.е. в каждом одинаковое число апельсинов и яблок. Надо найти наибольшее целое число, на которое делятся числа 123 и 82. 123 = 3 . 41, 82 = 2 . 41. Получаем, что ребят на елке было 41 человек. В каждом подарке было: 123 : 41 = 3 апельсина и  82 : 41 = 2 яблока.

Ответ: 41 ребенок, 2 яблока и  3 апельсина

2. Признаки делимости при решении задач

Задача. Можно ли разменять 100 р., имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего было 29 купюр?
Решение.   Пусть в размене участвуют х  рублевых, у трехрублевых  и  z пятирублевых  купюр, х + у + z =29,   х + 3у + 5z = 100.  Записав это равенство в виде (х + у + z) + (2у + 4z) = 100, заключаем, что х + у + z = 29 – четное число, т.к. числа 100 и 2у + 4z – четные числа. Следовательно, нельзя разменять 100 р с помощью 29 купюр достоинством в 1р, 3 р, 5р.

Задача. Решите в натуральных числах х и у  уравнение 22х + 13у = 1000.
Решение.  Из уравнения видно, что число у должно быть четным. Кроме того, так как 22х + 13у > 13у, то 1000 > 13у,      > у,  76 > у. Следовательно, 2 < у < 76.
Для того чтобы не перебирать все четные числа от 2 до 76, используем признак делимости на 11.

Правило: Число делится на 11, если сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Преобразуем уравнение: 22х + 11у + 2у = 1001 – 1, 22х + 11у +  (2у + 1) = 1001.
Так как 22х, 11у, 1001 делятся на 11, то и 2у + 1 делится на 11.
Первое значение у, при котором 2у + 1 кратно 11, есть у = 5, но оно нечетно.
Следующее такое значение у  больше 5 на 11, т.е. у = 16. Проверим:  2 . 16 + 1 = 33, а 33 делится на 11. Очередное значение у  больше 16 не на 11, а на 22. Значит, у = 38; далее у = 38 + 22 = 60. Для каждого из значений у = 16, 38, 60  вычислим соответствующее значение х.

Ответ: (10;60),  (23;38), (36;16). 

3. Свойства уравнений

Учащиеся 5 класса и большую часть 6 класса не владеют правилом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Это осложняет решения задачи, сводящейся к уравнению вида ах + ву  = с.  Поэтому разумно на примере чашечных весов познакомить детей с некоторыми свойствами уравнений.

Свойство: Если к обеим  частям уравнения прибавить или вычесть  одно и то же число, то полученное в результате этого новое уравнение имеет те же и только те же решения, что и исходное уравнение. 

Задача. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке фазанов и сколько кроликов?

Решение. Пусть в клетке х фазанов и у кроликов. Тогда общее число зверей х + у= 35. У фазанов по 2 ноги, т.е. 2х ног у всех фазанов. У кроликов по 4 лапы, т.е. 4у лап у всех кроликов.  Найдем общее число лап  2х + 4у = 94.
Попробуем решить это уравнение, используя знание материала 5 класса.
Запишем уравнение 2х + 4у = 94 в виде: 2х + 2у + 2у = 94,  2(х + у) + 2у = 94. Воспользуемся заменой  выражения х + у на тождественно равное х + у = 35. Получим: 2 . 35 + 2у = 94, 70 + 2у = 94, 2у = 24,     у = 12, тогда  х = 23.

Ответ: было 23 фазана и 12 кроликов.

4. Метод перебора

Этот метод применяется в задачах, при решении которых, приходится перебирать различные варианты. Применяется он в основном тогда, когда искомые величины  могут быть только целыми числами, а множество всех таких значений конечно.
Нередко в задачах используется свойство делимости целых чисел, а метод перебора выступает в виде составной части решения.

Задача. Дети собирали макулатуру. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а каждая девочка по 15 кг. Всего дети собрали  174 кг. Сколько мальчиков и девочек собирали макулатуру?

Решение. Пусть девочек было х человек, а мальчиков у.  Составим уравнение 15х + 21у = 174.

х

6

у

1

2

3

4

Задавая значения у,  и учитывая, что х и у натуральные числа,  перебором находим решение. Ответ: было 6 девочек и 4 мальчика.

Задачи для решения:

1) Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым  числом мест в каждом автобусе. В лес поехали 424 человека, а на озеро 477 человек. Все места в автобусах были заняты, и всем  хватило места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом вагоне?  (Ответ: 9 автобусов на озеро и 8 автобусов в лес; 53 места)

2) В кафе стоят столики на 4 и на 7 мест. Всего на 47 мест. Сколько столиков на 7 мест может быть в кафе? (Ответ: 5 столиков)

3) Решите в натуральных числах уравнение 19х + 94у = 1994 (Ответ: (100;1), (6;20))

4) В квартире 13 человек, кошек и мух. У всех вместе 42 ноги,  причем у каждой мухи 6 ног. Сколько было в отдельности людей, кошек и мух? (Ответ: (8;2;3), (7;4;2), (6;6;1))

5) Купили тетради по 7 р  и по 4 р. Всего на сумму 53 руб.  Сколько купили тетрадей каждого вида? (Ответ: 3 по 7 р и 8 по 4 р или 7 по 7 р и 1 по 4 р)

6) По тропинке вдоль кустов
Шло 11 хвостов,
Насчитать я также смог,
Что шагало 30 ног.
Это вместе шли куда-то
Индюки и жеребята.
А теперь вопрос таков:
Сколько было индюков?
Спросим также у ребят:
Сколько было жеребят?  (Ответ: 7 индюков и 4 жеребенка)

Литература:

  1. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике //«Просвещение» - «Учебная литература»  Москва 1996
  2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка  // Москва «Просвещение» 1984
  3. Смыкалова Е.В. Математика. Сборник задач по математике для учащихся 6 класса//Санкт-Петербург, СМИО, 2003
Читать еще:


Новые материалы:

Система работы по формированию здорового образа жизни детей дошкольного возраста :: Конспект открытого занятия по речевому развитию детей раннего возраста "У бабушки в деревне" по теме "Домашние животные" :: Речевое развитие ребенка третьего года жизни :: Адаптация и модификация курса "По дороге к Азбуке" в образовательной системе "Школа–2100" :: Занятие по теме "Эмоции и междометия" для дошкольников 5–6 лет :: Одержимость ( Obsession ), 2015 :: Дом и дача/Мебель/Мебель/Кровати/Детские кровати / МФ 4 Сезона / Кровать двухъярусная Валенсия Твист ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тестовые задания по экологии : Экология

Тестовые задания предназначены для проверки и закрепления знаний учащихся 8–11-х классов по курсу «Основы экологии». Данные тесты дают возможность быстро и объективно организовать проверку знаний учащихся по разделам «Основы экологии», «Учение о биосфере», «Экология популяций», «Взаимоотношения организмов», «Экология экосистем».

Карта ветров и загрязнения воздуха в режиме реального времени

Пока сайт Мосэкомониторинга никак не откроется вновь, предлагаю посмотреть на глобальную карту ветров с данными загрязненности воздуха диоксидом серы, предоставляемую NASA. Эта карта настолько завораживает, что на нее можно смотреть вечно.

Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD