Опровержение парадоксов и проблемные ситуации : Математика

Детям нравятся парадоксы. Наверно, это потому, что в них есть элемент новизны, чего-то неожиданного, иногда просто веселого. Отчасти это напоминает игру, потому что и в игре появляется то, что противоречит “скучной” действительности.

Если ученик хорошо понимает, в чем именно состоит противоречие, он, как правило, воспринимает его с интересом.

Как происходит опровержение парадоксов?

Задача школьника – найти ошибку в доказательстве какого-либо “невероятного” утверждения. Кто-то ее укажет, кто-то с интересом выслушает, в чем она заключалась. Главное условие – чтобы содержание задачи было понятно всем. Приведем пример такого парадоксального утверждения и его опровержения. Предлагается для детей 8-9 классов, когда хорошо изучена тема “Окружность”.

Утверждение. “В окружности может быть два центра”.

Пусть дан угол АВС, на его сторонах отложим равные отрезки ВМ и ВN. Из точек М и N проведем перпендикуляры к сторонам угла, эти перпендикуляры пересекаются в точке D.

Существует окружность, проходящая через точки D, N и М. Пусть эта окружность пересекает стороны угла АВС в точках Р и Q <Рисунок 1>.

Рис. 1

Отрезок PD – диаметр этой окружности, так как угол DNВ прямой. Значит, середина PD, точка О1, будет центром данной окружности.

Аналогично, середина QD, точка О2, будет тоже центром данной окружности.

Получаем два центра.

В чем же ошибка?

Данная окружность обязательно пройдет через точку В. Это можно доказать, используя четырехугольник BMDN: у него сумма противоположных углов равна 1800, и, значит, он является вписанным в окружность. Эта окружность проходит через 3 его вершины (M, D, N), но тогда и четвертая вершина лежит на той же окружности.

Таким образом, у нас не будет двух точек P и Q, лежащих на сторонах угла и принадлежащих окружности.

Так “расшифровывается” данный парадокс. Ошибка в чертеже привела к неверным выводам

То, что “обман” скрывался просто в неправильном чертеже, производит обычно яркое впечатление на детей. При этом хорошо повторяются свойства вписанных углов, существование описанной окружности, признаки равенства треугольников. Идет активный поиск ошибки в доказательстве, и эта эмоциональная насыщенность стимулирует активную познавательную деятельность ребенка.

Для мотивированных учеников можно предложить парадокс другого характера.

Парадокс (апория) Зенона. “Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху”. Шаги можно заменить на метры, потом перейти к сантиметрам и т.д.

Пример с Ахиллесом и черепахой указывает на парадоксальность самой жизненной ситуации, и тем особенно интересен для детей.

Этот пример обязательно запомнится, и, возможно, даст пищу для размышлений.

Учителю важно подчеркнуть, что опровержение этого парадокса очень трудное. Очевидное, казалось бы, решение этой задачи как обычной задачи на движение, только показывает, что в результате все-таки Ахиллес черепаху догонит. То есть ответ точно получается иной, а почему возникла ошибка – непонятно.

Мне представляется целесообразным сосредоточить здесь внимание не столько на многочисленных вариантах опровержения парадокса про Ахиллеса и черепаху и о стреле, которая не сможет полететь (тем более, что к окончательному выводу ученые до сих пор не пришли), сколько на том, как простое рассуждение Зенона приводит к неожиданному выводу. Ученики почувствуют, насколько интересна сама проблема, что за ней может скрываться. Удивительным оказалось для них и то, что об этом писал Пушкин <Приложение 1>.

В старших профильных классах возможен разговор о непрерывности функций, о дискретной математике (хотя бы в очень общих чертах, параллельно с изучением на уроках физики понятий квантовой механики и дискретности) и тогда станет по крайней мере понятно направление, в котором нужно искать ошибку. В старших классах изучается и “Война и мир”, где Толстой сравнивает парадокс про Ахиллеса с разными взглядами на развитие истории, используя понятие непрерывности и бесконечно-малых (“Война и мир”, том 3, часть 3, глава 1).

Но и до изучения таких сложных тем постановка самой проблемы интересна для ребят, о чем говорит мой опыт работы в 7 классе. К проведению Недели математики ученица сделала стенгазету об Ахиллесе и черепахе. Когда остальные семиклассники ее прочитали и обсудили, то решили сделать фильм. Мною был написан сценарий <Приложение 1>. Снимали фильм сами дети. Фильм получился небольшой, но зрителям понравился. Его можно посмотреть по ссылке https://yadi.sk/mail/?hash=be1XoVYTDYh17sdzR7WqmUUW34qLoGWJv890nhl6iuA%3D.

Читать еще:


Новые материалы:

Урок в 6-м классе "Культура Древней Руси" :: Урок истории в 5-м классе "Финикийские мореплаватели" :: Интегрированный урок (литература + история) по теме: "Перебирая наши даты". :: Повторительно-обобщающий урок по теме "Российское общество XVII века" ::
Warning: file_get_contents(http://detishka.ru/sitemap/list2.php) [function.file-get-contents]: failed to open stream: HTTP request failed! HTTP/1.1 404 Not Found in /home/u190093/poznanie21.ru/www/sitemap/links-rand.php on line 22
Открытый урок по истории "Третьеиюньская монархия и реформы П.А. Столыпина" :: Чудо-женщина ( Wonder Woman ), 2017 :: Дом и дача/Мебель/Готовые комплекты/Детские/Эксклюзив / Ангстрем / Стойка под ТВ DeСanto 026.10 Ангстрем ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Урок литературы по теме "Картины народной жизни и родной природы в повести Н.В.Гоголя "Ночь перед Рождеством"

Урок литературы по теме "Картины народной жизни и родной природы в повести Н.В.Гоголя "Ночь перед Рождеством"

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Представлен урок развития речи в 4-м классе, на котором происходит обучение детей по написанию сочинения-описания, основанное на личных наблюдениях. На уроке происходит формирование умений строить текст в определенной композиционной форме, определять и ясно выражать основную мысль сочинения, уметь систематизировать собранный материал.

Как качать ягодицы женщине

Как накачать ягодицы? Секреты супер ягодиц Многие девушки хотят знать секрет супер ягодиц, как накачать ягодицы раз и навсегда? Какие упражнения для ягодиц самые...

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Идеальные незнакомцы (Италия 2016, Испания 2017, Франция 2018, Россия 2019) - КиноАнализ

Итальянская история о том, как три с половиной семейные пары старых друзей чуть не поубивали друг друга за дружеским, пародон за обильную тафтологию, ужином, внезапно стала настолько популярной, что сразу же после ее выхода в других странах начали срочно лепить римейки. Мне больше не известно случаев, когда римейк фильма начали делать не спустя 5-10-20 лет, а сразу же после выхода. И испанский римейк, поставленный по свежим следам, уже поставил рекорд по сборам в Испании за свой первый месяц - декабрь 2017! Здесь же теперь и французский.

Контрольная работа по химии. 8-й класс. Тема: "Кислород. Водород. Вода. Растворы" : Химия

В данной контрольной работе осуществляется проверка знаний и умений. Контрольная работа рассчитана на 1 урок и представлена в 2 вариантах, каждый из которых разбит на 3 части: 1 - тест, состоящий из 18 вопросов; 2 - четыре утверждения, где есть пропущенное слово; в 3 - необходимо составить 6 уравнений химической реакции и уравнять их.

Значение живых организмов в природе и жизни человека : Биология

Конспект составлен на основе текстового материала учебника биологии 5-го класса под ред. проф. И.Н. Пономаревой, заданий рабочей тетради к учебнику, краеведческого материала, презентации и электронных образовательных ресурсов ЕК ЦОР. Урок знакомит с вредными и полезными для человека живыми организмами; раскрывается значение сохранения природного разнообразия; характеризуется значение живых организмов для человека и природы.

Как накачать икроножные мышцы

Как накачать икроножные мышцы Многие интересуется, как же накачать икроножные мышцы? Ведь это выглядит красиво как у женщин, так и у мужчин, привлекает внимание....

Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD