Опровержение парадоксов и проблемные ситуации : Математика

Опровержение парадоксов и проблемные ситуации : Математика

Детям нравятся парадоксы. Наверно, это потому, что в них есть элемент новизны, чего-то неожиданного, иногда просто веселого. Отчасти это напоминает игру, потому что и в игре появляется то, что противоречит “скучной” действительности.

Если ученик хорошо понимает, в чем именно состоит противоречие, он, как правило, воспринимает его с интересом.

Как происходит опровержение парадоксов?

Задача школьника – найти ошибку в доказательстве какого-либо “невероятного” утверждения. Кто-то ее укажет, кто-то с интересом выслушает, в чем она заключалась. Главное условие – чтобы содержание задачи было понятно всем. Приведем пример такого парадоксального утверждения и его опровержения. Предлагается для детей 8-9 классов, когда хорошо изучена тема “Окружность”.

Утверждение. “В окружности может быть два центра”.

Пусть дан угол АВС, на его сторонах отложим равные отрезки ВМ и ВN. Из точек М и N проведем перпендикуляры к сторонам угла, эти перпендикуляры пересекаются в точке D.

Существует окружность, проходящая через точки D, N и М. Пусть эта окружность пересекает стороны угла АВС в точках Р и Q <Рисунок 1>.

Рис. 1

Отрезок PD – диаметр этой окружности, так как угол DNВ прямой. Значит, середина PD, точка О1, будет центром данной окружности.

Аналогично, середина QD, точка О2, будет тоже центром данной окружности.

Получаем два центра.

В чем же ошибка?

Данная окружность обязательно пройдет через точку В. Это можно доказать, используя четырехугольник BMDN: у него сумма противоположных углов равна 1800, и, значит, он является вписанным в окружность. Эта окружность проходит через 3 его вершины (M, D, N), но тогда и четвертая вершина лежит на той же окружности.

Таким образом, у нас не будет двух точек P и Q, лежащих на сторонах угла и принадлежащих окружности.

Так “расшифровывается” данный парадокс. Ошибка в чертеже привела к неверным выводам

То, что “обман” скрывался просто в неправильном чертеже, производит обычно яркое впечатление на детей. При этом хорошо повторяются свойства вписанных углов, существование описанной окружности, признаки равенства треугольников. Идет активный поиск ошибки в доказательстве, и эта эмоциональная насыщенность стимулирует активную познавательную деятельность ребенка.

Для мотивированных учеников можно предложить парадокс другого характера.

Парадокс (апория) Зенона. “Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху”. Шаги можно заменить на метры, потом перейти к сантиметрам и т.д.

Пример с Ахиллесом и черепахой указывает на парадоксальность самой жизненной ситуации, и тем особенно интересен для детей.

Этот пример обязательно запомнится, и, возможно, даст пищу для размышлений.

Учителю важно подчеркнуть, что опровержение этого парадокса очень трудное. Очевидное, казалось бы, решение этой задачи как обычной задачи на движение, только показывает, что в результате все-таки Ахиллес черепаху догонит. То есть ответ точно получается иной, а почему возникла ошибка – непонятно.

Мне представляется целесообразным сосредоточить здесь внимание не столько на многочисленных вариантах опровержения парадокса про Ахиллеса и черепаху и о стреле, которая не сможет полететь (тем более, что к окончательному выводу ученые до сих пор не пришли), сколько на том, как простое рассуждение Зенона приводит к неожиданному выводу. Ученики почувствуют, насколько интересна сама проблема, что за ней может скрываться. Удивительным оказалось для них и то, что об этом писал Пушкин <Приложение 1>.

В старших профильных классах возможен разговор о непрерывности функций, о дискретной математике (хотя бы в очень общих чертах, параллельно с изучением на уроках физики понятий квантовой механики и дискретности) и тогда станет по крайней мере понятно направление, в котором нужно искать ошибку. В старших классах изучается и “Война и мир”, где Толстой сравнивает парадокс про Ахиллеса с разными взглядами на развитие истории, используя понятие непрерывности и бесконечно-малых (“Война и мир”, том 3, часть 3, глава 1).

Но и до изучения таких сложных тем постановка самой проблемы интересна для ребят, о чем говорит мой опыт работы в 7 классе. К проведению Недели математики ученица сделала стенгазету об Ахиллесе и черепахе. Когда остальные семиклассники ее прочитали и обсудили, то решили сделать фильм. Мною был написан сценарий <Приложение 1>. Снимали фильм сами дети. Фильм получился небольшой, но зрителям понравился. Его можно посмотреть по ссылке https://yadi.sk/mail/?hash=be1XoVYTDYh17sdzR7WqmUUW34qLoGWJv890nhl6iuA%3D.

Читать еще:


Новые материалы:

Урок физики в 7-м классе по теме "Решение задач по вычислению плотности вещества" :: "Изопроцессы" :: Открытый урок по теме "Плотность вещества". 7-й класс :: Информационные технологии на уроках физики :: Основные задачи и реализация профильного курса информатики в рамках социально-экономического профиля :: Лев ( Lion ), 2016 :: Дом и дача/Мебель/Шкафы, комоды, полки/Шкафы/Шкафы / Ангстрем / Шкаф навесной АГ-418.03 , Д2 Ангстрем ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Оставить отзыв с помощью аккаунта Google+:

Поддержите сайт - подпишитесь на канал в Яндекс.Дзене!

Самое популярное:
Состояние воздуха: Карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта состояния воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Звуко-буквенный разбор слов

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Автор решающей шайбы Олимпиады-2018 не забыл своего первого тренера. И подарил ему автомобиль!

Подарок в тайне от тренера доставили прямо на ледовую арену к началу рабочего дня.

Урок литературного чтения Л.Пантелеев. "Камилл и учитель" УМК Н.Ф. Виноградовой "Начальная школа XXI века"

На уроках литературного чтения закладываются основы духовности и нравственности, решаются вопросы человековедческого характера. В предлагаемом уроке идёт работа над понятиями добра и зла, предательства и героизма, сопоставляются произведения одного автора, разные типы рассказов: художественный и исторический. Это урок действия, где дети овладевают основными видами чтения: ознакомительным, изучающим, просмотровым и поисковым.

Костя Цзю прооперирован после инфаркта. 48 лет, абсолютный чемпион мира среди профи.

Вот это да. Возраст еще не старый, вес - 63 кг, легче не бывает, здоровье - железное... С чего вдруг?

Тихое место (A Quiet Place), 2018

Мистический триллер о семье фермеров, которые жили в тишине и уединении, – пока не стали мишенью для незримого преследователя потусторонней природы.

План-конспект урока по повести А.Алексина "А тем временем где-то" В 8-м классе

План-конспект урока-диспута в 8-м классе проводившегося с целью пробудить в учащихся чувство сострадания и понимания переживаний другого человека. Для решения поставленных целей на уроке создавались проблемные ситуации для размышления учащихся.


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . poznanie21@yandex.ru
 
ADD