Опровержение парадоксов и проблемные ситуации : Математика

Детям нравятся парадоксы. Наверно, это потому, что в них есть элемент новизны, чего-то неожиданного, иногда просто веселого. Отчасти это напоминает игру, потому что и в игре появляется то, что противоречит “скучной” действительности.

Если ученик хорошо понимает, в чем именно состоит противоречие, он, как правило, воспринимает его с интересом.

Как происходит опровержение парадоксов?

Задача школьника – найти ошибку в доказательстве какого-либо “невероятного” утверждения. Кто-то ее укажет, кто-то с интересом выслушает, в чем она заключалась. Главное условие – чтобы содержание задачи было понятно всем. Приведем пример такого парадоксального утверждения и его опровержения. Предлагается для детей 8-9 классов, когда хорошо изучена тема “Окружность”.

Утверждение. “В окружности может быть два центра”.

Пусть дан угол АВС, на его сторонах отложим равные отрезки ВМ и ВN. Из точек М и N проведем перпендикуляры к сторонам угла, эти перпендикуляры пересекаются в точке D.

Существует окружность, проходящая через точки D, N и М. Пусть эта окружность пересекает стороны угла АВС в точках Р и Q <Рисунок 1>.

Рис. 1

Отрезок PD – диаметр этой окружности, так как угол DNВ прямой. Значит, середина PD, точка О1, будет центром данной окружности.

Аналогично, середина QD, точка О2, будет тоже центром данной окружности.

Получаем два центра.

В чем же ошибка?

Данная окружность обязательно пройдет через точку В. Это можно доказать, используя четырехугольник BMDN: у него сумма противоположных углов равна 1800, и, значит, он является вписанным в окружность. Эта окружность проходит через 3 его вершины (M, D, N), но тогда и четвертая вершина лежит на той же окружности.

Таким образом, у нас не будет двух точек P и Q, лежащих на сторонах угла и принадлежащих окружности.

Так “расшифровывается” данный парадокс. Ошибка в чертеже привела к неверным выводам

То, что “обман” скрывался просто в неправильном чертеже, производит обычно яркое впечатление на детей. При этом хорошо повторяются свойства вписанных углов, существование описанной окружности, признаки равенства треугольников. Идет активный поиск ошибки в доказательстве, и эта эмоциональная насыщенность стимулирует активную познавательную деятельность ребенка.

Для мотивированных учеников можно предложить парадокс другого характера.

Парадокс (апория) Зенона. “Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху”. Шаги можно заменить на метры, потом перейти к сантиметрам и т.д.

Пример с Ахиллесом и черепахой указывает на парадоксальность самой жизненной ситуации, и тем особенно интересен для детей.

Этот пример обязательно запомнится, и, возможно, даст пищу для размышлений.

Учителю важно подчеркнуть, что опровержение этого парадокса очень трудное. Очевидное, казалось бы, решение этой задачи как обычной задачи на движение, только показывает, что в результате все-таки Ахиллес черепаху догонит. То есть ответ точно получается иной, а почему возникла ошибка – непонятно.

Мне представляется целесообразным сосредоточить здесь внимание не столько на многочисленных вариантах опровержения парадокса про Ахиллеса и черепаху и о стреле, которая не сможет полететь (тем более, что к окончательному выводу ученые до сих пор не пришли), сколько на том, как простое рассуждение Зенона приводит к неожиданному выводу. Ученики почувствуют, насколько интересна сама проблема, что за ней может скрываться. Удивительным оказалось для них и то, что об этом писал Пушкин <Приложение 1>.

В старших профильных классах возможен разговор о непрерывности функций, о дискретной математике (хотя бы в очень общих чертах, параллельно с изучением на уроках физики понятий квантовой механики и дискретности) и тогда станет по крайней мере понятно направление, в котором нужно искать ошибку. В старших классах изучается и “Война и мир”, где Толстой сравнивает парадокс про Ахиллеса с разными взглядами на развитие истории, используя понятие непрерывности и бесконечно-малых (“Война и мир”, том 3, часть 3, глава 1).

Но и до изучения таких сложных тем постановка самой проблемы интересна для ребят, о чем говорит мой опыт работы в 7 классе. К проведению Недели математики ученица сделала стенгазету об Ахиллесе и черепахе. Когда остальные семиклассники ее прочитали и обсудили, то решили сделать фильм. Мною был написан сценарий <Приложение 1>. Снимали фильм сами дети. Фильм получился небольшой, но зрителям понравился. Его можно посмотреть по ссылке https://yadi.sk/mail/?hash=be1XoVYTDYh17sdzR7WqmUUW34qLoGWJv890nhl6iuA%3D.

Читать еще:


Новые материалы:

Мониторинг как средство управления реализацией программы ОЭР :: Диагностика информационных умений учащихся :: Программа развития МОУ для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, детского дома г. Мыски Кемеровской области на 2008 – 2013 гг. :: Карта проблем как средство управления развитием школы :: Деловая игра "Теоретические основы управления" :: Призрачная нить ( Phantom Thread ), 2017 :: Дом и дача/Текстиль/Постельное белье/Комплекты/Текстиль/Текстиль для детской/Комплекты постельного белья/Комплекты в кроватку / HOBBY Home Collection / Комплект детский LITTLE SHEEP ::

Отзывы (через аккаунты в социальных сетях Вконтакте, Facebook или Google+):

Оставить отзыв с помощью аккаунта ВКонтакте:

Оставить отзыв с помощью аккаунта FaceBook:

Самое популярное:
Звуко-буквенный разбор слов : Начальная школа - Хелси и Смарт

Научить детей реально оперировать звуками, т.е. развивать фонетический слух.

Интерактивная карта загрязнения воздуха онлайн, обновляется в режиме реального времени

Экологическая карта загрязнения воздуха, которым мы дышим. В режиме реального времени.

Тесты для задания 7 ЕГЭ по русскому языку : Русский язык

Представленные тесты дают возможность учащимся приобрести практические навыки, связанные с нахождением нарушений синтаксической нормы. Умение видеть и исправлять данный вид ошибок при построении предложений позволяет не только дать правильный ответ при выполнении этого задания, но и не допускать подобных ошибок в сочинительной части экзамена.

Год свиньи 2019 - чем он характеризуется и что несет : новый год - Хелси и Смарт

Свинья всегда стояла в животном мире особняком. Решая сходные с человеческими задачи, построив на совершенно иной генетике организм настолько близкий к человеческому, что хоть сейчас сердце пересаживай (об этом чуть ниже), свинья остается одинаково свободной в любой обстановке - хоть в грязной луже, хоть на дворцовом паркете.

Лабораторная работа №3 "Знакомство с внешним строением растения". 5-й класс : Биология

Урок биологии в 5-м классе по программе Понаморевой И.П. является 2-м в теме «Растения». Тип урока: урок комплексного применения знаний с целью продолжить формирование представления об органах растений: вегетативных и генеративных; значении их для растения; развитие понятий “орган”, «голосеменные», «покрытосеменные» «вегетативные органы» «генеративные органы» формирование представлений о двух группах органов, вегетативных (побег и корень) и генеративных (цветок, плод с семенами).

Контроль знаний учащихся 10-го класса по темам "Алкены"и "Алкины" : Химия - Хелси и Смарт

Данная работа предложена учащимся с целью контроля усвоения программного материала по непредельным углеводородам (алкинам и алкенам) и задачами: проверить уровень усвоения номенклатуры и изомерии, умение получать алкены и алкины, составлять уравнения реакций с их участием, решать качественные и расчетные задачи по данным темам. Работа составлена с учетом индивидуального подхода: 1 вариант - облегченный; 2 вариант - средний уровень; 3 вариант - усложненный.

Тестовые задания по экологии : Экология

Тестовые задания предназначены для проверки и закрепления знаний учащихся 8–11-х классов по курсу «Основы экологии». Данные тесты дают возможность быстро и объективно организовать проверку знаний учащихся по разделам «Основы экологии», «Учение о биосфере», «Экология популяций», «Взаимоотношения организмов», «Экология экосистем».


Школьные занятия:
 
Контакты Научно-популярный портал "Познание - XXI век".
111672, г. Москва, ул. Новокосинская, д. 15, корп. 7.
Для связи E-mail: . spieler@detishka.ru
 
ADD